函數圖像

時間：2024-03-12 00:49:38 好文我要投稿

（優秀）常用函數圖像

常用函數圖像1

　　一次函數圖像，是北師大八年級上冊的內容。教學這一節時，我沒有按照課本的講解。我著這樣安排的，先講正比例函數的圖像和性質，用一課時，今天我就是講這一節。

　　先介紹函數的圖像、畫法。再畫正比例函數的圖像，引出正比例函數是經過原點的`直線。接著介紹怎樣作正比例函數的圖像。用這種方法，作幾個正比例函數的圖像，總結規律。接著練習。

　　練習之后我備課時又有一個性質要介紹，由于時間的關系，沒有講解，就下課了！

　　反思：1、課堂中前段時間留給學生的時間長，沒完成課前準備的教學任務。

　　2、本節課講到第三個性質。

　　3、練習題要精而且少，難易適中。

　　4、注意課前準備，上課注意語言。函數教學反思反比例函數教學反思

常用函數圖像2

　　本專題雖然為復習專題，但對于職中的學生來說，仍為學習的一個難點，因此教師要把握好難度，主要在學生了解知識的發生發展過程的基礎上，讓學生熟記結論，能正確的運用結論即可。主要思路以學生探索為主，教師點撥、啟發、引導和利用幾何畫板、課件動畫演示為輔，整個教學過程遵循學生認識事物從“特殊”到“一般”的規律。

　　以前該部分內容的教學通常是通過取值、列表、描點、畫圖然后靜態的讓學生觀察、總結，最后得出它們之間圖像變化的特點，不僅教學內容少，所耗時間長，課堂氣氛枯燥、學生參與的活動少、學習的積極性較低。通過信息技術的使用，改變常規教學中的處理方式，通過動畫演示，直觀生動，讓學生通過實驗、觀察、體會和交流，使得函數圖像的對稱變換、伸縮變換、平移變換變得形象、直觀，學生易于理解和掌握。學生的學習興趣濃厚、參與活動多、課堂氣氛活躍，使課堂教學落到了實處，主體作用得到了真正的體現，綜合能力和素質也得到了培養，這充分體現了信息技術具有的優勢。

　　在第一課時函數圖像的平移變化教學中，通過游戲引入，激發學生的學習興趣，為整節課奠定一個活躍的氛圍。再通過學生熟知的初等函數圖像之間的關系，讓學生從“特殊到一般”總結規律。在上課時，教師可根據學生的基礎進行調整。如果學生基礎較好的可以把它推廣到一般的函數

　　也即沿著軸正半軸平移為“－”，沿著負半軸平移的為（+）

　　口訣：左“+”右“－”

　　如果學生的基礎較差，可以設計幾個簡單的函數，利用幾何畫板觀察圖像變化，直接給出結論，而不給出這樣的表達式。另外一個，采用特殊記憶：口訣記憶：左“+”右“－”，形象易記。通過教師課堂上口述練習，學生搶答，為學生創造更多的成功體驗，培養學生的自信心。在講左右平移的時候注意自變量得系數不為1的時候，應該先把系數提取再進行平移。例如函數向右平移3各單位，學生很容易犯這樣的錯誤，直接在后面減去3得到.這是本節課的一個難點，教師可通過幾何畫板進行實驗，讓學生深刻理解平移后的表達式應該是。在教學過程中，整個課堂從開始到結束，學生都能夠保持著高的參與度，并很好的完成專項練習。

　　第二課時函數圖像的對稱變換，較為系統的從關于、軸對稱到關于點對稱，從點的對稱到整一個圖像的對稱，思路清晰明了，通過課件動畫演示，讓學生易于找到規律，從感性的'認識上升到理性認識，培養學生的分析與歸納能力大有幫助。對基礎較好的學生可以將含絕對值的函數圖像選擇性的學習，拓廣學生的思維。

　　第三節課函數圖像的伸縮變換，從生活實例引入，由學生熟悉的基本初等函數正弦函數為典例，動畫演示，從形的直觀再到數（解析式）的表示，學生比較容易入手。特別是對于家電專業的學生，特殊的專業模型電流的圖像，讓學生更能感覺到學有所用。采用觀察法，減少推導過程，讓學生直接運用結論，大大降低難度，讓學生感到應用知識并不難。

　　函數圖像的變換在高職考中主要考查對變換前后圖像形狀判斷、變換前后函數解析式的表示。因此設計練習時側重于常見題型的演練，注意把握好難度。特別注意在幾種變換綜合時，圖像的平移變換中注意左右平移針對自變量x，上下平移針對函數值y.特別是改變平移途徑先伸縮后平移的方法。例如將函數圖像向右平移2個單位，得到的圖像，再向下平移3個單位得到，而不是。

常用函數圖像3

　　在本節課中我采用“類比——探究——討論”教學法。在學習了正弦函數圖像與性質，平移正弦線得到正弦函數圖像的方法類比作正切函數圖像。設計問題讓學生進一步探究正切函數的性質與圖像，學生通過對這些“有結構”的材料進行探究，獲得對正切函數的感性認識和形成正切函數圖像的`了解。

　　通過創設問題情境，引發認知沖突，較好地調動了學生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神。通過多媒體顯示得出函數圖像。引導學生在有限的時間內完成正切函數性質的歸納和總結，讓學生思考、動手畫圖、課堂交流、親身實踐。通過互相交流、啟發、補充、爭論，使學生對正切函數圖像與性質的認識從感性的認識上升到理性認識，獲得一定水平層次的科學概念。這節課主要是教給學生“動手做，動腦想；多訓練，勤鉆研。”的學習方法。這樣做，增加了學生主動參與的機會，增強了參與意識，教給學生獲取知識的途徑；思考問題的方法。使學生真正成為教學的主體。

　　學生才會逐步感到數學美，會產生一種成功感，從而提高學生學習數學的興趣。在課堂教學中注重學生的學，讓學生自己思考得到問題的答案，以至于后半段課堂時間倉促，課堂練習只能變成課后練習。在以后的教學中會注意調節好學生的研究時間

常用函數圖像4

　　一、教材分析

　　1、教學目標：

　　（1）、能用列表、描點的方法探究反比例函數的圖象，并會畫出反比例函數的圖象。（2）、進一步理解函數的3種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法及各自的特點。

　　（3）、經歷畫圖、觀察、猜想、思考等數學活動，向學生滲透數形結合的思想方法。

　　2、重點：畫反比例函數的圖象。

　　3、難點：根據反比例函數圖象初步感知反比例函數的性質。

　　二、教后反思

　　1、優點：（1）、讓學生經歷“回憶——對比——猜想——分析——驗證”的思維過程。先讓學生畫一次函數y=2x+4的圖象。回憶函數圖象的畫法（列表，描點，連線），再讓學生猜想的圖象，并引導學生圍繞圖象點的橫縱坐標的符號特征，來預測它的'圖象，并與y=2x+4的圖象進行對比，最后，學生帶著疑問進行探索，畫的圖象，并最終驗證了自己的猜想。

　　（2）、在學生親手畫出一次函數y=2x+4的圖象后，通過對比辨析反比例函數的圖象概念及其特點，使學生得到深刻的認識和理解。

　　（3）、無限接近的理解。這是難點，學生沒有生活經驗。為了增加學生的感性認識，我拓展介紹了“無限可分和無限接近”的概念。并用直尺進行演示，使學生對于“無限”的理解有了實例的依托。

　　（4）、在講解的圖象是中心對稱圖形時，列舉了特殊的點來對比認識其中心對稱性，讓學生真正理解。

　　2、不足：

　　（1）、反比例函數圖象的概念出示過早，特別是圖象的兩個分支在“一、三或二、四”象限時，學生沒有感性認識。

　　（2）、學案設計有缺陷。直角坐標系和表格準備不當，給學生在操作畫圖時帶來了不必要的干擾。影響了教學效果。

　　（3）、習題練習不充分，講解時學生的主動性沒有發揮。

　　3、改進：

　　（1）、學生畫函數圖象時，細節不夠重視，教師可在課前把范例準備好，

　　以便學生能夠對比發現自己的不足，進而改進。

　　（2）、對于反比例函數圖象的畫法，可讓學生先小組討論完成，這樣有助于學生對反比例函數的深入理解，也可為后續學習其性質和應用增加一些思維鍛煉。

　　（3）、學案設計要簡明，要求和步驟應在學案上清楚表明，以便學生能夠清楚認識學習的任務和步驟，也方便教師掌握教學進度。也許您也喜歡下面的內容：

常用函數圖像5

　　從這節課的準備來看，針對教學內容從課題的引入、知識的呈現方式、學生的學習活動安排、知識的鞏固練習等多方面進行了多次的修改。

　　通過課堂的實際實施感覺上也不是盡善盡美，還有令人不滿意的地方。教師應該通觀教材，把握知識的脈絡體系，又要站在高于教材的位置統籌安排。這樣，教師才能靈活的把握課堂教學。而現在，教師缺乏的正是這一點，還是為了教而教。按部就班，設計的條條框框較多，多了一些穩重，少了一些靈活。而在課堂上，教師面對的是數十名學生，師生之間、生生之間考慮問題的角度、方式要靈活的多、開放的多，有可能教師固定的設計會影響到學生的思維發展。從這一角度講，教師應在把握知識的基礎上。結合學生的表現，靈活多樣的處理知識。學生是學習的主體，學生活動是新教材的一大特點。新教材在知識安排上，往往從實例引入，抽象出數學模型。通過學生的觀察、分析、比較、歸納，探究知識的發生、發展、形成的過程，得出結論，并能運用解決實際問題。側重于學生能力的培養，讓學生知道學什么，如何學。因此，教學過程中，如何安排學生的學習活動至關重要，本節課，學生活動設計了三個方面。一是通過畫函數圖象理解一次函數圖象的形狀，二是兩點法畫一次函數的圖象，三是探究一次函數的圖象與k、b符號的關系。

　　在學生活動中，如何調動學生的積極性、互動性，提高學生活動的實效性。值得老師們探討。為了達到上述目的，我結合每個活動，都給學生明確的目的和要求，而且提供操作性很強的程序和題目。如在活動一中，要求學生觀察圖象的形狀，兩條直線的位置關系。

　　在活動二中，強調兩點法（直線與坐標軸的交點）畫直線。在活動三中，探究k、b符號與直線經過的象限與增減性的關系。學生目標明確，操作性強，受到了較好的`效果。本節課的重點是由一次函數的解析式確定函數圖象，研究函數性質。由函數圖象的位置判斷解析式中k、b符號。體現了數學中非常重要地數形結合的思想。這段內容的教學，還是從學生活動出發，從具體的實例研究起，觀察圖象的位置和性質，在按照k、b的符號分類討論，使學生建立起數形之間的聯系。還要找到數形間的結合點，明確k的符號決定直線的什么位置，b的符號又決定了什么。為了加深學生對知識的理解，課上設計了由解析式畫函數圖象的草圖，由草圖的位置判斷解析式中k、b的符號的練習，收到了一定的效果。

常用函數圖像6

　　《新課程標準》強調教學過程是師生交往、共同發展的互動過程．在教學過程中要處理好傳授知識與培養能力的關系，注重培養學生的獨立性，引導學生質疑、調查、探究，在實踐中學習，使學習成為在教師指導下主動的、富有個性的過程．課堂應較多地出現師生互動、平等參與的生動局面，學習方式開始逐步多樣化，樂于探究、主動參與、勤于動手成為教學過程中教師的共識．為此，本節課主要通過開放式的提出問題，讓學生經歷畫圖、觀察、猜想、思考等數學活動，向學生滲透數形結合的思想方法，讓學生初步認識具體的反比例函數圖象的特征，體會事物是有規律地變化著的觀點．用科學的方法解決問題，培養學生科學的態度與精神．借助于多媒體課件，讓學生更能直觀的知道圖象的形成過程，有助于學生對數學知識的.理解和掌握．

　　在“反比例函數的圖象和性質”這一課的教學過程中，“數”與“形”的轉化，是貫穿始終的一條主線。主要反映在以下幾個方面。第一，反比例函數的圖象和性質，是“數”與“形”的統一體，由“解析式”到“作圖”，再到“性質”，都充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，是數形結合思想的具體應用。本課的教學設計與實施中，通過“描點法”作圖、觀察幾個具體的反比例

　　函數的圖象、課件演示展示“由動點生成函數圖象”，很好地反映了“數”、“形”之間的這種內在的聯系。第二，在“列表取值為何不能取零”、“反比例函數的圖象為何與坐標軸不會相交”、“特殊的反比例函數性質能否推廣到一般”這幾個問題中，如果單純依靠觀察圖象，是無法得出具有“說服力”的結論的，這就需要“回歸”解析式，再引導學生進行分析。即我們可以借助直觀圖形，幫助我們思考相關的問題，但僅有圖形的直觀是不夠的，必須考慮“已經”形式化的“數”的本質“特征”，使“數”、“形”之間達到統一。于是，在教學中，我們同樣關注了對“解析式”的分析。第三，在總結得出反比例函數的圖象和性質之后，我們為學生提供了一組題目，目的也是為學生提供一個體會“數形結合”、應用“數形結合”分析問題的平臺，使學生經歷利用“圖形直觀”來認識、解決與函數有關問題的過程。

　　不足與改進：在整個課堂教學過程中，教師圍繞主題、有針對性的提出問題，學生小組合作探討問題得出結論，然而部分小組在合作探究上還有所欠缺，討論的不夠激烈完善。我的改進設想是：留給時間讓學生提出問題，師生共同討論、交流，讓學生的學習更富有主動性；在畫出反比例函數的圖象后，沒有讓學生趁熱打鐵“看圖說話”，說出具體的圖象的特征；在畫出反比例函數的圖象后，追加這樣一個問題：“請同學們仔細觀察圖象并進行討論，這個反比例函數的圖象區別于一次函數的圖象有那些不同的特征呢？” 留給時間讓學生討論、交流，這樣改進之后，必將能更大的激發學生的探索熱情，更能

　　體現學生的創新能力，同時也為進一步學習反比例函數的圖象的特征埋下伏筆，能增強學生學習的信心．

常用函數圖像7

　　【學習目標】

　　1、從圖像平移和描點法兩個角度了解余弦函數的圖像畫法；

　　2、類比學習正弦函數的圖像方法理解五點法畫函數 = csx，x∈[0，2π]的簡圖；

　　3、會利用余弦函數的圖像研究其定義域、值域、周期性、最大（小）值、單調性、奇偶性、圖像的對稱性；

　　【學習重點】

　　五點法畫余弦函數圖象和余弦函數的性質

　　【學習難點】

　　余弦函數的性質性質的應用

　　【思想方法】

　　能從圖形觀察、分析得出結論，體會數形結合的思想方法

　　【學習過程】

　　一、預習自學（把握基礎）

　　（閱讀課本第31～33頁“練習”以上部分的內容，類比正弦函數的圖像和性質的研究方法，理解 = csx，x∈[0，2π]的簡圖并歸納其性質）

　　1、余弦函數 = csx，x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 R,的圖像的畫法有和兩種；

　　2、描點法畫余弦曲線時的五個關鍵點是：

　　411【導學案】余弦函數的圖像與性質

　　3、試結合余弦曲線理解歸納出余弦函數的性質：

　　二、合作探究（鞏固深化，發展思維）

　　例1．用“五點法”畫出下列函數的簡圖.

　　（1）＝－csx , x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 [0，2π] （2）＝3csx, x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 [-π，π]

　　例2.畫出函數=csx-1, x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 R的簡圖,根據圖像討論函數的定義域、值域、周期性、最大（小）值、單調性、奇偶性、圖像的對稱性；

　　例3、請分別用單位圓和余弦函數圖像求滿足不等式 411【導學案】余弦函數的圖像與性質的x的集合。

　　三、學習體會

　　1、知識方法:

　　2、我的'疑惑：

　　四、達標檢測（相信自我，收獲成功）

　　1.＝1＋csx, x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 [0,2π]的圖像與直線=1的交點個數為

　　2、函數=2-csx, x 411【導學案】余弦函數的圖像與性質 [0,2π]的值域為，增區間為

　　3、= 411【導學案】余弦函數的圖像與性質的定義域為；

　　4、＝1＋csx的奇偶性是

　　5、 411【導學案】余弦函數的圖像與性質的遞減區間是；

　　6.觀察余弦曲線寫出滿足csx＜0的x的集合

常用函數圖像8

　　作法

　　(1)列表：表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。

　　(2)描點：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

　　一般地，y=kx+b(k≠0)的圖象過(0，b)和(-b/k，0)兩點即可畫出。

　　正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取(0，0)和(1，k)兩點畫出即可。

　　(3)連線：按照橫坐標由小到大的順序把描出的各點用平滑曲線連接起來。

　　性質

　　(1)在一次函數圖像上的任取一點P(x，y)，則都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總交于(-b/k，0)。正比例函數的圖像都經過原點。

　　k，b決定函數圖像的位置：

　　y=kx時，y與x成正比例：

　　當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　y=kx+b時：

　　當 k>0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、三象限;

　　當 k>0，b<0，這時此函數的圖象經過第一、三、四象限;

　　當 k<0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、四象限;

　　當 k<0，b<0，這時此函數的圖象經過第二、三、四象限。

　　當b>0時，直線必通過第一、三象限;

　　當b<0時，直線必通過第二、四象限。

　　特別地，當b=0時，直線經過原點O(0，0)。

　　這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k<0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

　　②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　平面直角坐標系的構成

　　在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

　　點的坐標的性質

　　建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

　　對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

　　一個點在不同的`象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

　　因式分解的一般步驟

　　如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

　　通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

　　因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。

　　因式分解要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④

　　因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

　　公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

　　公因式確定方法：①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

　　提取公因式步驟：

　　①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

　　分解因式注意；

　　①不準丟字母

　　②不準丟常數項注意查項數

　　③雙重括號化成單括號

　　④結果按數單字母單項式多項式順序排列

　　⑤相同因式寫成冪的形式

　　⑥首項負號放括號外

　　⑦括號內同類項合并。

常用函數圖像9

　　這節課是青島版九年級數學下冊的一節探究課。在教學中我采用了體驗探究的教學方式，在教師的配合引導下，讓學生自己動手作圖，觀察、歸納出二次函數的性質，體驗知識的形成過程，力求體現"主體參與、自主探索、合作交流、指導引探"的教學理念。整個教學過程主要分為三部分：第一部分是前置性作業，前置作業是前一天發給

　　2y?ax學生的，主要涉及如何作圖、復習二次函數性質等問題。我的

　　設計目的是讓學生在復習這些知識的過程中體會從函數圖像來研究函數性質。應該說這樣設計既讓初三同學復習了舊知又使他們體會到如何研究函數，從哪些方面研究函數，從思維層面鍛煉了學生的探究

　　2y?ax?c的能力。第二部分是學習探究，只要是圖象讓學生感受

　　性質以及和二次函數y?ax的聯系與區別。第三部分是通過練習和我的展示讓學生鍛煉了自我學習的能力和出題的.能力。

　　本節課的優點主要包括：

　　1、教態自然，能注重身體語言的作用，提問具有啟發性。

　　2、教學目標明確、思路清晰，注重學生的自我學習培養和小組合作學習的落實。

　　3、能運用現代化的教學手段教學，尤其是能用幾何畫板等軟件突破重難點

　　4、二次函數上下左右的平移是我覺得上的比較成功的一部分，主要是借助多媒體的動態展示了二次函數的平移過程，讓學生自己總結規2

　　律，很形象，便于記憶。

　　本節課的不足之處表現在：

　　1、目標定位不好，本節課通過畫圖，由圖象觀察總結出對稱軸、頂點坐標、開口方向等。

　　2、課堂上講的太多。有些過程，讓學生自主觀察總結是完全能收到好的效果的，但是我都替學生總結了，學生還是被動的接受。其實這還是思想的問題，說明我沒有真的放開手。真正讓學生有了空間，他們也會給我們很大的驚喜。

　　3、有些內容偏離教學大綱，導致差生吃不好，優生吃不飽。課堂上有個別同學的學習態度不盡人意。

　　4、備課不夠細心，“圖象”兩個字變成“圖像”。

　　5、課堂應急處理不夠老練，同學提出的問題沒有及時解答

　　但在教學中，我自認為熱情不夠，沒有積極調動學生學習熱情的語言，感染力不足。今后備課時要重視創設豐富而風趣的語言，來調動學生的積極性。

　　總之，在數學教學中不但要善于設疑置難，而且要理論聯系實際，只有這樣才會吸引學生對數學學科的熱愛。

常用函數圖像10

　　1 基本信息

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：△y/△x=k (△為任意不為零的實數)，即函數圖像的斜率。

　　2.一次函數的表達式：y=kx+b

　　3.性質：當k0時，y隨x的增大而增大;

　　當k0時，y隨x的增大而減小。

　　當b0時，該函數與y軸交于正半軸;

　　當b0時，該函數與y軸交于負半軸

　　當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　4.一次函數定義域x∈R,值域f(x)∈R

　　5.一次函數在x∈R上的單調性：

　　若f(x)=kx+b,k0，則該函數在x∈R上單調遞增。

　　若f(x)=kx+b,k0，則該函數在x∈r上單調遞減。

　　2 函數性質

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b為常數)

　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的,坐標為(0,b).

　　當y=0時，該函數圖像在x軸上的.交點坐標為(-b/k，0)

　　3.k為一次函數y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)

　　形、取、象、交、減。

　　4.當b=0時(即 y=kx)，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數.

　　5.函數圖像性質：當k相同，且b不相等，圖像平行;

　　當k不同，且b相等，圖像相交;

　　當k互為負倒數時，兩直線垂直;

　　當k，b都相同時，兩條直線重合。

　　3 圖像性質

　　1.作法與圖形：通過如下3個步

　　(1)列表

　　(2)描點：一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理;

　　(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b)

　　2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像都是過原點。

　　3.函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

　　4.k，b與函數圖像所在象限：

　　y=kx時(即b等于0，y與x成正比，此時的圖像是是一條經過原點的直線)

　　當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　y=kx+b(k,b為常數，k≠0)時：

　　當 k0, 這時此函數的圖象經過一，二，三象限。

　　當 k0, 這時此函數的圖象經過一，三，四象限。

　　當 k0, 這時此函數的圖象經過一，二，四象限。

　　當 k0, 這時此函數的圖象經過二，三，四象限。

　　當b0時，直線必通過一、三象限;

　　當b0時，直線必通過二、四象限。

　　特別地，當b=0時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。

　　4、特殊位置關系

　　當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值(即一次項系數)相等.

　　當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數(即兩個K值的乘積為-1.

常用函數圖像11

　　1.一定要留足時間讓學生自己作出二次函數的圖象

　　可能在教學過程中，有些教師會覺得作圖象是上一節課的重點，這一節主要是學生觀察、分析圖象，從而不讓學生畫圖象或者只是簡單的畫一兩個。這種做法看上去好像更加突出了重點、難點，卻沒有給學生探索與發現的過程，造成學生對于二次函數性質的理解停留在表面，知識遷移相對薄弱，不利于培養學生自主研究二次函數的能力。

　　2. 相信學生并為學生提供充分展示自己的機會

　　在歸納二次函數性質的時候，也要充分的相信學生，鼓勵學生大膽的.用自己的語言進行歸納，因為學生自己的發現遠遠比老師直接講解要深刻得多。在教學過程中，要注重為學生提供展示自己聰明才智的機會，這樣也利于教師發現學生分析問題解決問題的獨到見解，以及思維的誤區，以便指導今后的教學。課堂上要把激發學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位，通過運用各種啟發、激勵的語言，以及組織小組合作學習，幫助學生形成積極主動的求知態度。

　　3．注意改進的方面

　　在讓學生歸納二次函數性質的時候，學生可能會歸納得比較片面或者沒有找出關鍵點，教師一定要注意引導學生從多個角度進行考慮，而且要組織學生展開充分的討論，把大家的觀點集中考慮，這樣非常有利于訓練學生的歸納能力。

常用函數圖像12

　　我們的學生已經對反比例函數的概念有了一定的認識，在此基礎上我們進行圖像和性質的探索，是很好的一節探索課，可以通過探索來發展學生的數學思維，讓不同的學生得到不同的發展。這節課主要是通過學生自主探究、觀察、類比學習，探索得出反比例函數的圖象和性質，使學生經歷了一次自主獲取新知的成功體驗，充分體現了新課程的教學理念和自主探究的學習方法。自主探究學習是近年來興起的一種全新的教學方式，它主要著力于學生的學，鼓勵學生以類似科學研究的模式，進行主動探索。它把目標指向學生的創新能力、問題意識，以及關注現實、關注人類發展的意識和責任感的培養，而不僅僅是知識的傳播和掌握。其有利于改變學生學習數學的方式，它強調“做中學”，力圖通過學生“做”的主動探究過程來培養他們的創新精神、動手能力和解決問題的能力。而立足于課堂，深入鉆研教材，是數學課堂教學中實施探究性學習的基礎。對教學中體會較深的內容如下：

　　首先為達到自主探究、培養學生的動手能力、觀察能力和問題意識的教學目的，教師要努力為學生創設必要的情境。人們的學習往往從問題開始，因為這樣的學習具有方向性與原動力。一節高質量的數學課常常是由好的數學問題啟發并激勵學生學習的充實過程。因此，我把教學設計的主體“教學情境設計”設計成由若干個有一定邏輯順序的問題。即通過復習反比例函數的定義，我給出兩個反比例函數，畫出它的圖象。使他們經歷觀察實驗、猜測發現、交流反思等理性思維的基本過程，使他們領悟發現和提出問題的藝術，引導他們更加主動、有興趣地學，富有探索地學，逐步培養學生的問題意識，孕育創新精神。

　　其次我感覺準確、美觀的畫出反比例函數的圖像，也應是本節課的難點，原因之一畫函數的圖像第一步是列表，列表時取哪些點？不取哪些點？取多少？密集程度如何？對剛接觸反比例函數的學生來說，都是必須解決好的問題，否則劃出的圖像必然是五花八門，錯誤百出。原因之二，學生畫函數圖像的經驗源于正比例函數和一次函數，由于二者的圖像均為直線，所以有可能對畫反比例函數圖像造成一定的干擾。因此我給了學生大約十分鐘的時間，并讓學生在黑板上去花。在畫的過程中問題很多通過問題的出現給予糾正，讓學生減少作圖中的不必要錯誤。

　　最后圖畫好以后我讓學生結合函數觀察圖像回答了一系列問題，從而讓學生總結并歸納出函數的圖像和性質，并通過課件呈現，整個過程中學生的參與性很高。為了讓學生的思維得到進一步發展我也設計了兩個問題，我首先是讓學生從對稱的角度去觀察看能發現什么，然后我讓學生在圖像上任取一個點向兩坐標軸作垂線與坐標軸圍成的矩形面積等于多少，又有什么發現學生自己總結，再讓學生去發現圍成的.三角形面積是多少。從而得到我們想要的結論。在課前我就想我們這些班的學生能發現出來嗎，令我吃驚的是他們沒有問題。整節課我都是大膽放手給學生，學生也覺得這樣的課堂很容易集中他們的注意力，讓他們的大腦真正動起來了。我雖然沒有楊東老師的課堂那么精彩，但我覺得我的這一節課也很成功。我上完這節課最大的體會就是深挖教材備好課，在課堂上讓學生成為真正的主人，這樣的教學才是最有效的。轉變學生的學習方式，向四十分鐘要效率也是我在平時的教學中一直追求的。雖然總體教學效果很不錯，但是我覺得自己還是存在不足：首先：有些急躁，而且還表現出來了，課堂語言不夠精煉。其次：對教學時間把握不準，分配我感覺不均。最后：備課這個環節做的不到位，不是沒有認真備，而是經驗有點缺乏，每次和能手名師的課相比都覺得自己有很多不足之處，今后要加強學習，提高駕馭課堂的能力。

常用函數圖像13

　　一、教材分析

　　這是本章的第二節，研究對象是反比例函數的圖像及其性質，其學習以正比例函數的圖像及其性質為基礎，在學習過程中可以借助前面學習的正比例函數的有關知識和研究方法，確定研究方向，因勢利導，從而類比形成新的知識結構體系，整個過程特別注重讓學生自己探索發現，培養學生類比、觀察、猜想、歸納等獨立思考的能力，在函數知識里邊，還滲透了數形結合的思想，方程的思想，“運動—變化”的辯證唯物主義思想，并且能進一步加強代數與幾何的聯系.，可為后階段學習一次函數、二次函數的有關知識打下良好的基礎。

　　二、學情分析

　　我校這屆學生，多是務工子女，基本能力和技能較低，因此在教學時要為學生創設自主探索合作交流的環境，以直觀，操作觀察，概括和交流作為重要的活動方式，通過這些活動逐步提高從函數圖像中獲取信息的能力，提高感知水平。

　　學生在第一節中已經學習過“正比例函數”的內容，對函數已經有了初步的認識，在此基礎上研究討論反比例函數圖像及其性質對后繼學習產生積極影響，再說學生可以結合實例經歷列表、描點、作圖等活動，理解函數的整體直觀形象，為學生探索反比例函數的性質提供了思維活動空間，可以使學生更牢固地掌握由他們自己發現的反比例函數的性質。

　　三、教學目標

　　1 進一步熟悉畫函數圖像的主要步驟，能利用描點法正確畫出反比例函數的圖像。

　　2 逐步提高從函數圖像中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數圖像的主要性質。

　　3 通過類比、觀察、猜想、歸納等激發探究新知識的熱情，經歷體驗知識產生、形成和發展的過程，增強學習數學的興趣。

　　4 在動手作圖的過程中，體會做中學的樂趣，養成勤于動手，樂于探索和與他人合作交流的習慣。

　　四、教學重點與難點

　　教學重點：理解反比例函數的圖像，掌握反比例函數的性質

　　教學難點：對反比例函數性質的理解。

　　五、教法分析和學法指導

　　本課教學采用探討研究法、發現法、講、練結合法.其依據是：

　　⑴遵循教材的結構特點和學生的認知能力。

　　⑵教學方法改革發展的新趨勢：注重啟發式，加強對學生學法的研究和指導。

　　⑶教師的主導作用和學生的主體參與有機的結合。

　　六、教學過程

　　（一）創設問題情境，引入新課

　　師：同學們還記得我們學過的正比例函數嗎？正比例函數的圖像是什么圖形？你在畫圖時需要采用哪幾個步驟？

　　生：記得，是一條經過原點的直線。（1）列表（2）描點（3）連線

　　設計意圖：回顧正比例函數圖像作法的基本步驟，為學習反比例函數的圖像和性質做準備。

　　（二）提出問題，探究新知

　　師：上節課我們學習了反比例函數的一般解析式是什么？

　　生：反比例函數的一般解析式是

　　師：請同學們來猜想一下反比例函數的圖像是什么？讓我們一起畫個反比例函數的圖像看看，好嗎？

　　操作：同桌兩人分別畫出反比例函數或的函數圖像。（分組進行列表畫圖）（課前已經準備好方格紙片和彩色筆、鉛筆）

　　按照研究正比例函數圖像即一般函數圖像的一般步驟，通過列表、描點、連線來畫出它們的圖像。

　　以小組為單位，先列出表格，再進行描點、連線。注意：①列表時自變量取值要均勻和對稱②x≠0③選整數較好計算和描點。（教師提示）

　　設計意圖：讓學生親自動手操作，會畫反比例函數的圖像，可以培養學生的動手能力，激發學生學好數學的興趣，去為發現反比例函數的性質做準備。分組畫圖的目的是為后面的合作交流做鋪墊。采用彩色筆，通過顏色變化，有利于反映和發現問題。

　　通過學生自己畫的圖像，經過仔細觀察，從而得出反比例函數的圖像是雙曲線。（教師可做提示一般一個分支取4~6個點）

　　比一比：同桌兩人分別畫出函數或的圖像，看誰畫得又快又好。（展示學生作品）

　　設計意圖：通過比一比的方式，提高學生的畫圖技能和計算能力，利用對好作品的展示又可激發學生學習的興趣，增強自信心。

　　（三）探索比較，發現規律

　　師：下面大家分四人一小組討論，根據大家所畫出的函數圖像，從以下幾個方面出發，你能發現反比例函數的圖像及性質有哪些？

　　1 你能發現它們的共同特征以及不同點嗎？

　　2 函數圖像分別位于哪幾個象限？

　　3 在每一個象限內，y隨的x變化有怎樣的變化？

　　設計意圖：提高學生從函數圖像中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數的主要性質，體會分類討論的思想，數形結合思想的運用，并引導學生積極參與探索活動，注意多和同伴交流看法。

　　師：討論結束后，由各小組選代表說說討論結果。

　　師生行為：

　　學生分組針對上面3個問題，結合畫出的圖形分類討論，歸納總結出反比例函數的圖像的性質：

　　（1）反比例函數y = （k為常數，k≠0）的圖像是雙曲線。

　　（2）當k>0時，雙曲線的`兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y隨x值的增大而減小。

　　（3）當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y隨x值的增大而增大。

　　（四）運用新知、拓展訓練

　　（搶答題）

　　1.反比例函數的解析式是。它的圖像是。

　　2.當k< 0 時，反比例函數的圖像的兩個分支分別分布在第象限內；在每一象限中，y值隨x值的增大而。

　　3.已知函數，如果y隨著x增大而減小，那么k的取值范圍是。

　　4.反比例函數，那么在x﹤0時，y的值隨x的增大而。

　　5．在函數中，當m= 時，它是反比例函數。y隨x的增大而

　　6．若兩點(x1, y1),(x2, y2)反比例函數的圖像上有，且x1< x2<0，則y1與y2的關系是( )

　　A. y1> y2 B. y1< y2

　　C. y1＝y2 D.大小無法確定

　　設計意圖：檢驗學生對本課知識的掌握及應用情況。通過練習，既培養學生思維的敏捷性，又激發學生的參與和競爭意識.在搶答過程中，教師給予適當評講，并積極調動學生的參與熱情，讓整個課堂充滿活躍的氣氛.

　　（五）歸納總結，布置作業

　　師：讓學生談談收獲（討論后請幾位學生發言）

　　1、你學到了哪些知識？

　　2、你還有哪些疑問？

　　設計意圖：通過學生自由討論、總結、概括本節所學習的內容，使學生進一步了解反比例函數的圖像及其性質，讓他們體驗到學習數學的快樂，在交流中與全班同學分享。

　　思考題：

　　仔細觀察反比例函數的圖像，除已學過的性質外，還可以觀察出什么特別的性質？

　　設計意圖：此題是一個簡單的開放性問題，為學有余力并對數學有濃厚興趣的學生設計，目的是為他們提供一定的學習材料，給學生較大的思維空間和思考時間，培養其發散思維，鼓勵學生在學習中發現和探索.

　　七、反思

　　1、同桌互動畫圖像，改變傳統的被動接受知識的教學方式，鼓勵學生自己探索、合作交流。對于我班部分個別學生來說畫圖技巧較弱，課后需再加強輔導。

　　2、由于本節課的內容與正比例函數有著密切聯系，學生能在舊知識中尋找模型，而最后的運用新知、拓展訓練中的第6題，提升了一定的高度，有一小部分同學不那么容易理解，需要進行適當的點撥。

常用函數圖像14

　　【知識與技能】

　　1.會用描點法畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象.

　　2.會用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、開口方向、對稱軸、y隨x的增減性.

　　3.能通過配方求出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函數的性質求實際問題中的最大值或最小值.

　　【過程與方法】

　　1.經歷探索二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的作法和性質的過程，體會建立二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸和頂點坐標公式的必要性.

　　2.在學習y=ax2+bx+c(a≠0)的性質的過程中，滲透轉化（化歸）的思想.

　　【情感態度】

　　進一步體會由特殊到一般的化歸思想,形成積極參與數學活動的意識.

　　【教學重點】

　　①用配方法求y=ax2+bx+c的頂點坐標；②會用描點法畫y=ax2+bx+c的圖象并能說出圖象的.性質.

　　【教學難點】

　　能利用二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標公式，解決一些問題，能通過對稱性畫出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象.

　　一、情境導入，初步認識

　　請同學們完成下列問題.

　　1.把二次函數y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.

　　2.寫出二次函數y=-2x2+6x-1的開口方向，對稱軸及頂點坐標.

　　3.畫y=-2x2+6x-1的圖象.

　　4.拋物線y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的圖象.

　　5.二次函數y=-2x2+6x-1的y隨x的增減性如何？

　　【教學說明】上述問題教師應放手引導學生逐一完成，從而領會y=ax2+bx+c與y=a(x-h)2+k的轉化過程.

　　二、思考探究，獲取新知

　　探究1 如何畫y=ax2+bx+c圖象，你可以歸納為哪幾步？

　　學生回答、教師點評：

　　一般分為三步：

　　1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標.

　　2.列表,描點,連線畫出對稱軸右邊的部分圖象.

　　3.利用對稱點,畫出對稱軸左邊的部分圖象.

　　探究2 二次函數y=ax2+bx+c圖象的性質有哪些？你能試著歸納嗎？

常用函數圖像15

　　教學過程中教師應通過情境創設激發學生的學習興趣，對函數與圖像的對應關系應讓學生動手去實踐，去發現，對一次函數的圖象是一條直線應讓學生自己得出。在得出結論之后，讓學生能運用 “ 兩點確定一條直線 ” ，很快做出一次函數的圖像。在鞏固練習活動中，鼓勵學生積極思考，提高學生解決實際問題的能力。

　　根據學生狀況，教學設計也應做出相應的調整 . 如第一環節：探究新知，固然可以激發學生興趣，但也可能容易讓學生關注代數表達式的尋求，甚至部分學生形成一定的認知障礙，因此該環節也可以直接開門見山，直切主題，如提出問題：一次函數的代數形式是 y=kx+b ，那么，一個一次函數對應的圖形具有什么特征呢？今天我們就研究一次函數對應的圖形特征 — 本節課是學生首次接觸利用數形結合的思想研究一次函數圖象和性質，對他們而言觀察對象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教學過程中我通過問題情境的創設，激發學生的學習興趣，引導學生觀察一次函數的圖像，探討一次函數的簡單性質，逐步加深學生對一次函數及性質的認識。本節課的重點是要學生了解正比例函數的確定需要一個條件，一次函數的確定需要兩個條件，能由條件求出一些簡單的一次函數表達式，并能解決有關現實問題。本節課設計注重發展了學生的數形結合的思想方法及綜合分析解決問題的能力及應用意識的培養，為后繼學習打下基礎。

　　由于這節課的知識容量較大，而且內容較難，我們所用的學案就能很好地幫助學生消化理解該知識，。在教學過程中，讓學生親自動手、動腦畫圖的方式，通過教師的引導，學生的.交流、歸納等環節較成功地完成了教學目標，收到了較好的效果。但還存在著不盡人意的地方，由于課的內容容量較大，對于有些知識點，如 “ 隨著 x 值的增大， y 的值分別如何化？ ” ，本應給學生更多的時間練習、討論，以幫助理解消化該知識，但由于時間緊，學生的這一活動開展的不充分。課堂氣氛不夠活躍，個別學生的主動性、積極性沒有充分調動起來。這是今后教學中應該注意的問題。

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