例3及“做一做”

例3要求出小強獲勝的可能性是多大，首先應找出小麗和小強玩“石頭、剪子、布”的所有可能的結果。 

從表中可見，一共有9種可能的結果，因為每人出石頭、剪子、布的可能性都相同，所以上述9種結果出現的可能性都相等，均為 。其中小強獲勝的結果有3種，小麗獲勝的結果有3種，平的結果也有3種，故小強獲勝的可能性是3× = ，同理，小麗獲勝的可能性也是 ，所以用“石頭、剪子、布”來決定誰跳是公平的。

為了不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，教學時可讓學生結合以前學的排列組合知識進行思考。在找出游戲的所有可能結果后，應引導學生認識到每種結果出現的可能性都相等。

做一做。

為了求擺出的三位數是單數的可能性，首先應羅列出3，5，6這三張卡片能夠擺出的所有三位數， 6個三位數中單數有4個，雙數有兩個，所以擺出的三位數是單數的可能性是 ，是雙數的可能性是 。教學時，應注意引導學生利用以前學習的排列組合方法，以保證在羅列時做到不重復不遺漏。

除了列舉法，也可根據單數和雙數的特性來分析問題。判斷一個數是單數還是雙數主要看這個數的個位，若個位上的數字是單數，則該數就是單數，反之，則說明該數是雙數。現在來看3，5，6這3個數字，3，5都是單數，只有6是雙數，所以當3或5都放在個位時，組成的三位數就是單數，只有當6放在個位時，組成的三位數才是雙數，因而擺出的三位數是單數的可能性是 ，是雙數的可能性是 。

由以上的分析可以看出，這個游戲規則對猜“擺出的三位數是雙數”的一方不利，所以游戲不公平。

練習二十二

第1題，從4張數字卡片中任意抽取兩張，這是一個組合問題，共有 種，分別是：①2，3；②2，7；③2，8；④3，7；⑤3，8；⑥7，8。其中第一種和第五種情況下兩數的乘積既是2的倍數又是3的倍數，所以可排除，即有效的組合有4種。在這4種組合中，乘積是2的倍數的有3種（2，7；2，8；7，8），乘積是3的倍數的有1種（3，7），所以這個玩法不公平。

根據已有的規則，為了使游戲公平，則必須換掉卡片2或卡片8，并且新加的數字卡片應滿足如下條件：該數字是不能被3整除的奇數，如5，11等。教學時，應注意說明當兩個數的乘積既不能被2整除又不能被3整除時，也要重來。

第2題，投擲一粒骰子，朝上的數字有6種可能的結果，根據乘法原理，同時擲兩粒骰子時，則可能出現的結果共有6×6=36種，并且這36種結果出現的可能性都相等，均為 。與此對應，36種情況下兩個數字的和的分布情況如下表陰影部分所示：

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

從表中可見，和是單數的結果有18種，所以和是單數的可能性是 ，同理，和是雙數的可能性也是 ，故這個游戲對雙方是公平的。

第3題，本題是開放的，學生可根據自己的生活實際，從熟悉的游戲、活動中尋找題材，先探究這些游戲、活動的規則是否對比賽各方都公平，如果不公平，則根據等可能性思想，對游戲的規則進行矯正，或重新制定，直到使其滿足公平性。

2．理解，會求數據的中位數；了解中位數與平均數的聯系和區別，會根據數據的具體情況合理選擇統計量。

例4

通過解決“用什么數表示第3組同學的擲沙包水平比較合適”這一問題，引出了中位數的概念。在第一學段，學生已知道用平均數來描述一組數據的總體情況比較方便和適用，但平均數與一組數據中的每個數據都有直接的關系，任意一個數據大小的變化都會對平均數值產生影響，從而很自然地引入中位數的概念。

教學時，應把握好以下幾個層次：一是引入中位數的必要性；二是定義中位數的概念時，要突出中位數的統計意義；三是闡明中位數與平均數各自的特點和適用范圍。

教學時應把中位數特點講清楚，讓學生明白：把一組數據按大小順序排列后，最中間的數據就是中位數，它的優點是不受偏大或偏小數據的影響。如在本例中，因為有兩個特同學的成績太高，嚴重偏離了大多數同學的水平，這時用中位數來表示第3組同學擲沙包的一般水平就比較合適。另外，計算中位數前首先應將該組數據按照大小順序進行排列，再找出處于最中間位置的數據。

最后，教師可適當小結一下，使學生認識到平均數與中位數都是反映一組數據集中趨勢的統計量，但針對具體的一組數據來說，則應根據數據組中各個數據的分布情況，合理選擇適當的統計量。如當一組數據中某些數據嚴重偏大或偏小時，就最好選用中位數來表示該組數據的一般水平。

例5

設計本例的目的是使學生進一步理解中位數的概念，掌握求中位數的方法，另外更重要的一點是讓學生體會中位數在統計學上的作用。

本例呈現了幾名男生的跳遠成績，并從平均數和中位數兩個角度對該數據組進行了分析，結果表明用中位數代表這組成績的一般水平更合適。針對給定的一組數據，判斷某個統計量優劣的標準就是該統計量是否包含了數據組足夠多的信息量，是否很好地反映了該組數據的大部分特征，也即該統計量蘊涵了更多的有關該組數據的信息。對例5而言，7名男生跳遠成績的平均數是2.96，中位數是2.89，分析發現有5名男生的成績都低于平均值，從而說明在這里用平均數來代表該組成績不太合適，應選用中位數。為讓學生更完整地掌握求給定一組數據的中位數的方法，在本例最后，有意將原數據組的7個數據變成了8個，以向學生介紹當一組數據有偶數個數據時中位數的求法。

教學時可讓學生通過小組討論的形式來分析平均數和中位數的特點，并引導他們結合本例的實際情況，以做出合理的選擇。

練習二十三

第1題，教學時，可以先讓學生根據7名同學的成績估一估他們跳繩的一般水平大約應是多少，然后再分別計算出平均數和中位數，比較后再選擇合適的統計量。

第2題，本題的編寫意圖有兩點：一是使學生認識到當一組數據中沒有特別偏大或偏小的數據時，平均數和中位數這兩個統計量都能較好地反映該組數據的統計特征；二是讓學生初步理解中位數與平均數的大小關系：當一組數據中所有比中位數小的數與中位數之差的和小于所有比中位數大的數與中位數之差的和時，中位數就比平均數小，反之中位數就比平均數大。

第3題，通過展示兩個公司職工工資情況統計表，說明在生活中要特別警惕平均數的誤用，要看清在平均數掩蓋下的事實真相，以幫助我們在生活中作出科學合理的選擇。

普通職員在公司里占絕大多數，所以他們的工資更能代表公司職工工資的一般水平，這實際上也是工資統計表里的中位數，從而也與前面學習的用“中位數代表全體數據的一般水平更合適”相一致。用平均工資來反映該公司職工工資的一般水平并不合適。

如果爸爸想應聘公司的員工，從工資水平的角度考慮應該選擇甲公司，因為甲公司普通職員的工資是1200元，高于乙公司的1100元。

第4題，這是一道實踐活動題，同時又是一道開放題，可讓學生小組合作開展調查活動。首先是確定需要調查的內容，如調查本班同學視力情況，調查一個年級學生的身高、體重等，并制定好相應的調查計劃，作好統計表，然后在全班（全年級或全校）的同學中進行調查。調查后把結果反映在設計好的統計表里，由此求出所收集數據的中位數，特別應讓學生說說中位數的意義。例如在視力情況的調查中，如果中位數顯示的視力結果是沒有近視，則說明全班同學有一半以上都沒有近視，反之則說明全班同學患近視的人數超過了一半。

五、教學建議

1．注重學生對等可能性思想的理解，淡化純概率數值的計算。 

在自然界和人類社會中存在兩類不同的現象：確定性現象（即必然事件和不可能事件）和隨機現象（即不確定事件）。概率論就是研究隨機現象的規律性的數學分支。在小學階段設置簡單的“概率”內容，主要是為了培養學生的隨機思維，讓其學會用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。因此，在可能性知識的教學中，應注意加強對學生概率素養的培養，增強學生對隨機思想的理解，而不要把豐富多彩的可能性內容變成了機械的計算和練習。

2. 加強學生對中位數在統計學意義上的理解。

中位數和平均數一樣，也是反映一組數據集中趨勢的一個統計量。教學時應注意結合學生已經很熟悉的平均數，對比教學，以幫助學生厘清兩者的聯系和區別，使他們明白：平均數主要反映一組數據的總體水平，中位數則更好地反映了一組數據的中等水平（或一般水平）。

在教學中，教師應選擇恰當的數據組，以反映中位數在統計學上的意義和價值，在與平均數的對比中體現中位數的特點。如例4、例5的數據組中，因個別數據嚴重偏大，影響到平均數也偏大，導致平均數不能很好地代表該組數據的總體水平，而中位數的優勢正好能夠避免一些偏大或偏小數據的影響，因而在這樣的場合中，中位數就能很好地反映一組數據的一般水平。

3. 加強動手操作，提供自主探索的空間。可以結合學生熟悉的游戲、活動（如擲硬幣、玩轉盤、摸卡片等），讓學生親自動手試驗，在試驗中直觀體驗事件發生的可能性，探究游戲規則的公平性與等可能性事件的關系等，使其經歷知識的形成過程。