直線與平面垂直的判定優秀教案

　　作為一位無私奉獻的人民教師，往往需要進行教案編寫工作，編寫教案有利于我們準確把握教材的重點與難點，進而選擇恰當的教學方法。我們應該怎么寫教案呢？下面是小編幫大家整理的直線與平面垂直的判定優秀教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　直線與平面垂直的判定優秀教案 1

　　一、教學目標

　　1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。

　　2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題，進一步培養學生的空間觀念。

　　3.讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　二、教學重點、難點

　　1.教學重點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

　　2.教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

　　三、課前準備

　　1.教師準備：教學課件

　　2.學生自備：

　　三角形紙片、鐵絲（代表直線）、紙板（代表平面）、三角板

　　四、教學過程設計

　　1.直線與平面垂直定義的建構

　　（1）創設情境

　　①請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側棱與地面的位置有什么關系？

　　②請把自己的數學書打開直立在桌面上，觀察書脊與桌面的位置有什么關系？

　　③請將①中旗桿與地面的.位置關系畫出相應的幾何圖形。

　　（2）觀察歸納

　　①思考：一條直線與平面垂直時，這條直線與平面內的直線有什么樣的位置關系？

　　②多媒體演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。

　　③歸納出直線與平面垂直的定義及相關概念。

　　定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.

　　直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面、直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

　　直線與平面垂直的判定優秀教案 2

　　（一）目標

　　1、知識與技能

　　（1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；

　　（2）能運用性質定理解決一些簡單問題；

　　（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互關系.

　　2、過程與方法

　　（1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；

　　3、情感、態度與價值觀

　　通過“直觀感知、操作確認、推理證明”，培養學生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.

　　（二）重點、難點

　　兩個性質定理的證明.

　　（三）教學方法

　　學生依據已有知識和方法，在教師指導下，自主地完成定理的證明、問題的轉化.

　　教學過程教學內容師生互動設計意圖

　　新課導入問題1：判定直線和平面垂直的方法有幾種？

　　問題2：若一條直線和一個平面垂直，可得到什么結論？若兩條直線與同一個平面垂直呢？師投影問題. 學生思考、討論問題，教師點出主題復習鞏固以舊帶新

　　探索新知一、直線與平面垂直的性質定理

　　1、問題：已知直線a、b和平面 ，如果 ，那么直線a、b一定平行嗎？

　　已知

　　求證：b∥a.

　　證明：假定b不平行于a，設 =0

　　b′是經過O與直線a平行的直線

　　∵a∥b′，

　　∴b′⊥a

　　即經過同一點O的兩線b、b′都與 垂直這是不可能的，

　　因此b∥a.

　　2、直線與平面垂直的'性質定理

　　垂直于同一個平面的兩條直線平行

　　簡化為：線面垂直 線線平行生：借助長方體模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間相互平行，所以結論成立.

　　師：怎么證明呢？由于無法把兩條直線a、b歸入到一個平面內，故無法應用平行直線的判定知識，也無法應用公理4，有這種情況下，我們采用“反證法”

　　師生邊分析邊板書.

　　借助模型教學，培養幾何直觀能力.，反證法證題是一個難點，采用以教師為主，能起到一個示范作用，并提高上課效率.

　　直線與平面垂直的判定優秀教案 3

　　一、教學內容分析

　　《直線與平面垂直的判定》共2課時，本課是第1課時，本節課的內容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分，均為概念性知識。本節內容以“垂直”的判定為主線展開，“垂直”在定義和描述直線和平面位置關系中起著重要的作用，集中體現在：空間中垂直關系的相互轉化。

　　其中核心內容為——直線與平面垂直的定義和判定定理。本節具有承上啟下的作用，在已有“直線與平面位置關系，直線與直線垂直定義與判定”的基礎上，引出直線與平面垂直，為學習“平面與平面的位置關系，平面與平面的垂直”做準備，其中直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直，這三類垂直問題的研究主線是類似的，都是以定義——判定——性質為主線。判定定理的教學，盡管新課標在必修課程中不要求證明，但通過定理的探索過程，培養和發展學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，并體會“平面化”以及“降維”的轉化思想，是本節課的重要任務。

　　二、教學目標的確定

　　1、課程目標

　　（1）對空間幾何體整體觀察，認識空間圖形；

　　（2）以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；

　　（3）能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定；

　　（4）了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。

　　2、單元教學目標

　　本單元將在前一單元整體觀察、認識幾何體的基礎上，以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；通過對大量圖形的觀察、實驗、操作和說理，能進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數學語言表述集合對象的位置關系，初步體驗公理化思想，養成邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題。具體目標是：

　　（1）點、線、面之間的位置關系

　　①借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作為推理的依據。

　　②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。

　　③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

　　3、“直線與平面垂直的判定”的課堂教學目標

　　立體幾何的符號語言是數學簡約美的重要體現之一，從運動的觀點來講，線可以看成是點的軌跡，面可以看成是線的軌跡，因此，線、面可以看成是點的集合，從而抽象出用集合語言描述點、線、面關系的符號語言。教學中，通過捕捉生活中的數學現象，抽象得出線面垂直的定義及判定，使生活問題數學化，讓學生感受數學與現實生活的聯系，從現實生活中發現數學、學習數學、理解數學、應用數學，從而感受數學的魅力。正如荷蘭數學家弗賴登塔爾在他所著的《作為教育任務的數學》一書中所講：“數學起源于現實”，“數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實。”

　　新課標中立體幾何的體系和內容都發生了較大的變化，要求能通過直觀感知、操作確認，歸納出直線和平面垂直的判定定理。

　　基于上述認識，將單元目標“以立體幾何的有關定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定。”具體化為：

　　（1）學生能借助直線與平面垂直的具體實例，解釋“直線與平面垂直”的含義；

　　（2）學生通過參與折紙試驗，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并會用數學語言表述；

　　（3）會用直線與平面垂直的定義和判定定理進行簡單的推理論證，并體會線線垂直與線面垂直相互轉化的數學思想。

　　三、學生學情分析

　　大千世界，數學無處不在，線面垂直的定義及判定定理來源于大量的.生活現實，如：大橋的橋柱和水面的位置關系，火箭與地面的位置關系，國旗旗桿與地面上的影子的位置關系，為何木工師傅使用直角尺一量就知道物體是否垂直？……這些是學生能夠感知的生活現實，所以學生很容易得出線面垂直的定義，從而引出課題：如果用定義來判定直線與平面垂直在實際應用時有困難（由于平面內直線有無數條），那么是否存在更加簡便、易行的方法呢？線面垂直的判定定理則解決了上述困難。根據這一定理只要在平面內選擇兩條相交直線，考慮它們是否與平面外的直線垂直即可。另外，直線與平面垂直的判定定理，體現的仍然是“平面化”的思想。當然，通過直線與直線垂直判斷直線與平面垂直，還蘊涵了“降維”的思想。

　　另外學生已經學習了點、線、面的位置關系，已經初步具有辯證唯物主義觀點和公理化的思想、空間想象能力和思維能力，以及學習了直線與直線、直線與平面的位置關系，也已經初步體驗到了數學轉化的基本思想。本節還需在此基礎上進一步體會空間與平面的轉化思想，使其得到螺旋式的鞏固和提高。

　　學生在學習本節內容時主要有以下兩個困難：

　　1、理解直線與平面垂直的定義，讓學生認識到線面垂直是用線線垂直來刻畫的，逐步形成概念體系，體會其中的轉化思想，這對于高一的學生來講是比較困難的。

　　所以在設計教學時，首先通過一組圖片讓學生直觀感知直線與平面垂直的具體形象，然后將其抽象為幾何圖形，再用數學語言對幾何圖形進行精確的描述，讓學生在此過程中體會直線與平面垂直定義的合理性。

　　2、用定義去判定直線與平面垂直是不方便的，如何在較短的時間內，讓多數學生找到判定直線與平面垂直的簡便方法，這需要一個較好的載體，去引導學生探究直線與平面垂直的判定定理，同時完成對定理條件的確認。

　　所以，在教學過程中，通過折紙試驗，精心設置問題，引導學生歸納出直線與平面垂直的判定定理。并且引導學生通過操作、擺出反例模型，對定理的兩個關鍵條件“雙垂直”和“相交”進行理解和確認。

　　四、教學策略分析

　　學生已經學習了有關集合的內容，并且經過函數、方程、不等式，三角函數等一系列內容對集合語言的應用，學生已經非常熟悉，所以很容易發現并掌握用集合語言表示空間點、線、面位置關系的符號語言。另外，在上一節當中學習了直線與平面的位置關系、直線與平面平行的判定和性質，已經初步體會到數學中的轉化思想。基于大多數學生本身的“數學現實”，通過直觀感知，學生容易抽象出線面垂直的定義，但對定義中“任意性”的理解卻是許多同學難以理解的，所以，在定義辨析中，通過一系列的設問，對“任意性”從正反兩方面，全方位、多角度進行澄清，理解。

　　學生們通過動手探究的實踐過程，也容易抽象出數學命題即線面垂直的判定定理，但在操作確認的過程中，有一點是學生不容易想到的，也是學生難以理解的，就是關于兩個關鍵條件：“雙垂直”和“相交”的感知和確認。這里只能利用定義一條途徑來說明，通過階梯性的設問逐漸引導學生通過操作模型——旋轉和平移，并在教學過程中恰當地使用現代信息技術——幾何畫板展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）的教學提供形象的支持，提高學生的幾何直觀能力。將直線與平面內兩條相交直線垂直轉化為與平面內任意一條直線都垂直，從而加深對判定定理的理解。

　　在例題教學中，面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，一方面能夠加強對定義、定理的理解與應用能力，另一方面也能夠調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習的興趣。

　　根據以上分析，本節課采用啟發探究式的教學方式。

　　在啟發式教學過程中，以問題引導學生的思維活動。教學設計突出了對問題串的設計，教學中，結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高。

　　嘗試通過試驗的方法進行立體幾何的教學。本節課主要是通過直觀感知、操作確認歸納出直線和平面垂直的判定定理。但借助什么去感知？怎樣操作才能歸納出判定定理？確認到什么程度，才能在不對定理進行證明的情況下，不失數學的邏輯性和嚴謹性？本節課立足教材，重視對具體實例的觀察、分析，并且給學生提供動手操作的機會，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中。

　　五、教學過程

　　原蘇聯數學教育家斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學活動的教學”，“數學活動是思維活動，對數學家而言，這是一個發現活動；對于數學教學來說，我們要教給學生的不是死記現成的材料，而是發現數學真理（自己獨立的發現科學上已經發現了的東西），學生發現那些在科學上早已被發現的東西的時候，他是像第一次發現者那樣去推理的。”[3]在弗賴登塔爾的論述中也指出：“學生通過自己努力得到的結論和創造是數學教育內容的一部分”。 [2]新課標也在倡導積極主動、勇于探索的學習方式。基于這樣的理念的指導，結合本課的教學內容，本課采用啟發探究發現式教學法，以問題為載體，學生活動為主線，給學生留下思考的空間，為學生創造合作、探索、發現、創新的氛圍，激發學生的學習興趣，體現學生的主體地位，將傳授知識和培養能力融為一體。

　　本節課通過創設情境、系列設問，學生體驗探索新知的氛圍，學生從已有的線線垂直知識的經驗，容易遷移得到線面垂直，體驗成功的樂趣，產生繼續探索新發現的欲望，老師再帶領學生發現線面垂直的判定定理，學生分組合作探究，使學生親身經歷數學知識的發生、發展及解決的全過程，體會到發現數學，應用數學的樂趣。

　　直線與平面垂直的判定定理將原本判定直線與平面垂直的問題，通過判定直線和直線的垂直來解決。從獲得判定定理的思維來看，與獲得直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的過程類似。雖然平面內直線有無數多條，但它卻可以由兩條相交直線完全確定，因此是否有“一條直線和平面內兩條相交直線垂直，那么就有這條直線就與平面內任意直線垂直”就成為重點考察問題。

　　當然，這時學生也許會問，兩條平行直線也確定一個平面，為什么不能用“一條直線與兩條平行直線垂直來判定呢？”實際上，由公理4知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內一條直線垂直，那么它與這個平面內的平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直。

　　所以，為了更好地培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知、操作確認的基礎上，歸納概括出直線與平面垂直的判定定理，學生通過教科書上的“探究”試驗：通過折疊三角形紙片，探究在什么條件下，就能使折痕與桌面垂直，通過動手實踐，自己發現“當且僅當折痕AD是BC邊上的高時……”，并對65頁的思考進行交流，然后得到一般的結論（即判定定理），如果此時仍有學生心存質疑，這時引導學生通過操作模型來認識其本質原因：一條直線和平面內兩條相交直線垂直，那么只要以AD為軸通過旋轉和平移就有這條直線就與平面內任意直線垂直，其中必須保證有足夠的時間進行探索活動。

　　例題教學中，第一題給出了一個判定直線和平面垂直時常用的命題：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于該平面。這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系。第二題本題為課本的探究題，本題思路跳躍性較大，如果直接讓學生去做就會有一部分學生比較困難，產生畏難情緒，所以在探究之前先搭建兩個臺階，這樣學生思維活動就比較平緩，大部分學生都能順利探究出問題答案，從而樹立學生學習數學的自信心。兩道例題均體現數學中線線垂直與線面垂直相互轉化的思想。

　　學生對如何運用定義、定理解決問題也是躍躍欲試，在展示學生答案之后，給全體學生一個暢所欲言的機會，互相評價，最終得到完善的答案，在集體交流中感受合作的巨大力量。這樣做，對于不善于表現自己的學生可能會失去和大家交流的機會，可能有個別學生要面臨一定的問題、困惑、挫折甚至失敗，但通過組內合作交流和老師的指導，也可以克服。這也體現了一個人成長、發展所必須經歷的過程，對于培養意志品質起到了重要作用。

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