目 錄
一、 全等變換及其性質(zhì) 1
（一） 全等變換的概念 1
（二） 全等變換的性質(zhì) 1
二、 全等變換的基本分類 1
（一） 平移 1
1. 平移的概念 1
2. 平移的性質(zhì) 2
3. 關(guān)于平移的問題 2
（二） 旋轉(zhuǎn) 4
1. 旋轉(zhuǎn)的概念 4
2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 5
3. 關(guān)于旋轉(zhuǎn)的問題 5
（三） 對稱 7
1. 對稱的概念 7
2. 對稱的性質(zhì) 7
3. 關(guān)于對稱的問題 8
三、 平移、旋轉(zhuǎn)和對稱之間的關(guān)系 14
參考文獻(xiàn) 16
全等變換及其性質(zhì)
全等變換的概念
在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書中給出了全等變換的概念，即：一般的，如果在歐氏平面上定義的變換T，使得任意兩點A，B和它們的象A'B'，總有AB=A'B'，則稱T是全等變換，也稱保距變換，或者合同變換。這種圖形運動也叫圖形的剛體運動，即剛體運動所生成的變換是全等變換。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁。]
而在《幾何課程研究》一書中，則給出了更為簡潔的定義，即：一個平面上得到其自身的變換f，如果對于平面上任意兩點A,B,其距離ρ（A,B）總等于它們的對應(yīng)點A'，B'間的距離ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等變換。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第140頁。]
全等變換的性質(zhì)
全等變換是一一變換；
平面上所有全等變換的集合構(gòu)成一個全等變換群；
兩直線的夾角不變；三角形的面積不變；平面圖形的面積不變；直線上A、B、C三點的簡比AC/BC不變；
共線點變?yōu)楣簿�點，且保持順序關(guān)系不變；
直線變?yōu)橹本�、線段變?yōu)榫�段、射線變?yōu)樯渚�，半平面變?yōu)榘肫矫妫?/p>
兩直線的平行性、正交性不變。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第141頁.]
全等變換的基本分類
平移
平移的概念
平移，也叫平移變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點P變換到P'，滿足：
（1）射線PP'有給定的方向；
（2）線段PP'有給定的長度。
其中，點P與P'就是一對對應(yīng)點。也就是說，這里的一組對應(yīng)點P與P'組成的線段PP'平行于給定的射線，而且，線段PP'的長度等于定長。事實上，一個圖形F經(jīng)過了一次平移f而等到另一個圖形F'，意味著將圖形F上的所有點，按照同一方向都移動了同樣的距離。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁。]
平移的性質(zhì)
（1）平移變換是第一類全等變換。因此，平移變換具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）在平移變換下，直線變成與它平行（或重合）的直線；線段AB變?yōu)榫�段A'B'，且AB=A'B'。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第142頁。]
關(guān)于平移的問題
圖1
圖1是出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊的內(nèi)容。由圖1可以看出，在我們平常的生活中，存在著許多平移現(xiàn)象，只不過學(xué)生們都沒有仔細(xì)地觀察過。該圖在引導(dǎo)學(xué)生注意觀察生活的基礎(chǔ)上，又開拓了學(xué)生的思路，讓學(xué)生不單單要觀察，并且要記住，哪些現(xiàn)象是平移，并且可以舉出一些生活中平移的實例，例如人在行走過程中，上身就是在平移，又或者火車行駛在鐵軌上，也是一種平移。
圖2
圖3
圖2圖3都是出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊。在圖3中，形象的給出了一個鴨子的造型，首先引起了學(xué)生的興趣，讓學(xué)生有興趣繼續(xù)讀完下面題目的要求，此題要求學(xué)生做平移之后的圖，更多的是要同學(xué)自己動手動腦，在自己對平移的理解的基礎(chǔ)上解決問題。問題相對來說淺顯易懂，意在讓學(xué)生能夠形象的理解平移。如果理解上出現(xiàn)了什么偏差，在做題的過程中也可以表現(xiàn)出來，并且及時糾正。而在圖4中變換了一下提問的角度，前面的問題都是先給出原圖，然后提出平移要求，讓學(xué)生畫出最后所求的圖。而在此題中，兩幅圖均給出，需要學(xué)生說出具體平移的步驟。這兩道題考察的學(xué)生學(xué)習(xí)的全面性。學(xué)習(xí)平移，首先要理解平移的含義，其次明白原圖、平移要求和所得圖之間的關(guān)系，只有了解了這三者及他們之間的關(guān)系，才能讀懂做對圖3圖4中的問題，此時，學(xué)生也就對平移有了一個大致的了解了。
圖4
圖4是關(guān)于平行四邊形面積的求法。在此內(nèi)容中，用到了平移的知識。因為學(xué)生學(xué)過矩形面積如何去算，可是不會算平行四邊形的面積。所以，將平行四邊形左半部分延高h(yuǎn)剪下一個小三角形，再將小三角形平移到平行四邊形的右側(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)正好可以與剩余的部分組成一個矩形。矩形的長是平行四邊形的底，矩形的寬是平行四邊形的高（如圖3所示）。于是得出平行四邊形的面積公式S=ah。
旋轉(zhuǎn)
旋轉(zhuǎn)的概念
旋轉(zhuǎn)，也叫做旋轉(zhuǎn)變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點A變換到點A'，滿足：
點A、A'到定點O的距離OA、OA'相等；
∠AOA'等于定角α。
其中，定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，定角α叫做旋轉(zhuǎn)角。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第181頁。]
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)變換是第一類全等變換。因此，旋轉(zhuǎn)具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時，直線（線段）與其對應(yīng)直線（線段）的交角等于φ。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁.]
關(guān)于旋轉(zhuǎn)的問題
圖5
圖5出自于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊。在旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容上，教材沒有安排過多的內(nèi)容。只是列舉了一些生活的實例，引導(dǎo)學(xué)生去觀察，并且培養(yǎng)學(xué)生的觀察和推導(dǎo)能力。先用具體的圖代替文字解釋什么叫旋轉(zhuǎn)，然后讓同學(xué)們?nèi)ヂ?lián)想，生活中還有哪些事件是旋轉(zhuǎn)，加深學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的理解。
圖6
圖6出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊。關(guān)于旋轉(zhuǎn)部分的練習(xí)不是很多，主要是讓學(xué)生了解什么是旋轉(zhuǎn)，觀察生活中旋轉(zhuǎn)的實例，并且通過觀察積累經(jīng)驗，解答問題。例如，家里的電風(fēng)扇，在工作的時候幾片扇葉就是在旋轉(zhuǎn)，又例如，鐘表在工作的時候，三個指針也是在旋轉(zhuǎn)，并且在一年級下學(xué)期的時候，學(xué)生就已經(jīng)初步的認(rèn)識了鐘表。
圖7
圖7出自于百度文庫。該題是要求三角形面積公式。我們先根據(jù)題目給的三角形，做一個一模一樣的，然后將其中一個三角形以一個頂點作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，接著將兩個三角形拼在一起，形成了一個平行四邊形。平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高。平行四邊形的面積我們在上文中已經(jīng)利用平移解決了，即S=ah，所以在這里我們可以直接使用，最后得出三角形的面積S= ah。
α
圖8
如圖8，學(xué)生玩活動角，準(zhǔn)備兩個紙條，長短不限，把它們重疊并且捏住它們的一端，將其中一個紙條的另一端往別的方向拉，把它張開形成一個角。[ 李一帆，角的認(rèn)識[N]，新課程小學(xué)北京：科學(xué)出版社，2010-7-8,96.]這個活動讓角動態(tài)化了，可以讓學(xué)生更直觀地看到角是如何形成的，而不是單純的一個頂點兩條邊，幫助學(xué)生更好地理解角，并在今后的練習(xí)中避免了一些錯誤。
對稱
對稱的概念
對稱是指圖形或物體對某一點、某條直線或某個平面的反射運動，在形狀、大小、長短和排列等方面都相等或相當(dāng)，具有一一對應(yīng)的關(guān)系。軸對稱和中心對稱都是對稱變換。
（1）軸對稱的概念
兩個圖形具有一一變換的關(guān)系，如果以每對對應(yīng)點為端點的線段都和同一條直線垂直且被平分，那么稱這種變換為軸對稱（或直線反射），每對對應(yīng)點互稱對稱點，垂直平分對稱點所連線段的直線叫做對稱軸。
（2）中心對稱的概念
中心對稱實際上是一種特殊的對稱，它既與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，也與點的軸對稱有關(guān)。
如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與另一個圖形完全重合，那么，我們就說，這兩個圖形構(gòu)成中心對稱。
特別地，如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么，我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第189-191頁。]
對稱的性質(zhì)
在對稱的定義中，對稱的性質(zhì)已經(jīng)基本上全部給出。只有中心對稱還具有一些特殊的性質(zhì)：
在中心對稱變換下：
過對稱中心的直線是不變直線。
對應(yīng)點連線過對稱中心且被它平分；對應(yīng)線段相等且反向平行或共線。
不過對應(yīng)中心的直線與其對應(yīng)的直線平行；反之，若兩直線平行，則他們是某個中心對稱變換下的兩條對應(yīng)直線。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁.]
關(guān)于對稱的問題
圖9
圖10
圖9和圖10出自于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊。作為例題，圖9和圖10都非常有代表性。首先，圖9沒有立即解釋對稱，而是讓學(xué)生觀察生活中常見的幾幅圖，通過直觀的印象告訴同學(xué)，這種現(xiàn)象就是對稱。然后運用了折紙和剪紙這兩種學(xué)生較喜歡而且可以帶動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的活動，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識對稱，并且認(rèn)識一個新概念：對稱軸。圖10中水中的倒影、鏡中的影像，都非常貼近生活，可以讓學(xué)生課下自己去觀察對稱，切身體會對稱帶給生活的美。
圖11
圖11出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊。該題和圖10相對應(yīng)，是圖10中例題的練習(xí)題，都是以鏡面作為對稱的工具。鏡子是日常生活中非常常見的物品之一，學(xué)生大可以在回家以后自己親身體驗鏡子對稱的奧妙。像右圖中那個小女孩兒，她明明是左手拿本右手拿筆的，可是在鏡子里她就變成了左手拿筆右手拿本，這是為什么呢。引起了學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生切身體驗，通過觀察自己積累經(jīng)驗解決問題，并加深印象。
圖12
圖12出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊。這道練習(xí)題提問的角度和別的題目不大一樣，給出的不是一整幅圖，然后讓學(xué)生做對稱，而是給出一半的圖，讓學(xué)生填完另一半。在做題的過程中，自然而然的讓學(xué)生了解了更多的對稱圖形，同時向?qū)W生滲透一種對稱美的觀點。
圖13
圖13兩幅圖出自百度文庫。
學(xué)生學(xué)習(xí)對稱，學(xué)習(xí)對稱軸，自然而然就會想到一些軸對稱的圖形。這里列舉了三個較典型且非常常見的軸對稱圖形，長方形、正方形和圓形。給學(xué)生看這三個圖形，讓他們判斷這三個圖形是否是軸對稱圖形，如果是，有沒有對稱軸。可以幫助學(xué)生更好的認(rèn)識圖形。
圖14
圖14出自百度文庫。該題是求梯形的面積公式。由圖可知，梯形面積公式的推導(dǎo)方法和三角形面積公式的推導(dǎo)方法非常相近。都是先畫出來一個和題目給出的梯形一模一樣的梯形，然后將其中一個梯形以上底為對稱軸做軸對稱，之后將兩個梯形拼在一起，形成了一個平行四邊形。平行四邊形的底就是梯形的上底加下底，平行四邊形的高就是梯形的高。由平行四邊形面積公式S=ah可知，梯形面積公式為S= (a+b)h。
圖15
圖15是大家很常見的折紙圖，在很常見，學(xué)生也很感興趣的折紙活動中，我們也可以看到對稱的身影。 通過折紙活動，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對象和性質(zhì)：軸對稱、中心對稱、全等、相似性、比例及類似于幾何分形結(jié)構(gòu)的迭代（在圖案內(nèi)不斷地重復(fù)圖案）等幾何性質(zhì)。這些鮮活的、可視的過程，給學(xué)生提供了彌補思維過程中的斷缺部分，更能符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。
平面幾何中的軸對稱與中心對稱概念，不僅在日常生活中應(yīng)用廣泛，同時，也是幾何學(xué)的重要內(nèi)容。簡單郵路問題就是應(yīng)用這類內(nèi)容的典型案例。下面就是簡單郵路問題的教學(xué)設(shè)計的一個典型案例。[ 本部分參考：上海市金匯學(xué)校課題組。簡單郵路問題與對稱教學(xué)[J]，數(shù)學(xué)教學(xué)，1999，（2）：31,4.]
（1）提出問題
郵遞員從郵局出發(fā)，要把信件送到8個地方，再回到原地，請為郵遞員設(shè)計送信的線路，在完成任務(wù)的前提下使得路程盡可能短。即如圖16所示， △ ● ●
有3×3=9（個）整齊排列的點，其中左上角帶△的點表示郵局， ● ● ●
請用線段把這些點連接起來，并且線段不重復(fù)。 ● ● ●
解決問題； 圖16
發(fā)給學(xué)生每人16個如圖16所示的圖形。
先由學(xué)生根據(jù)要求，獨立畫出線路圖；
通過組內(nèi)交流去掉重復(fù)的線路圖；
選取其中一個小組的所有設(shè)計方案，將其張貼在黑板上。
要求學(xué)生：
一方面，去掉不合理的線路圖，即去掉從郵局出發(fā)而最后沒法回到郵局的情況，以及8個送信地點中有遺漏或重復(fù)的情況。
另一方面，挑選其中的最優(yōu)設(shè)計方案。那么，怎么樣的設(shè)計方案才是符合問題要求的最優(yōu)方案呢？回答是“線路不重復(fù)，而且距離必須最短”。
圖16中9點之間的連線有直線段和斜線段兩種，每種設(shè)計方案最后的送信距離，我們都可以用“m條直線段+n條斜線段”來表示。于是，引導(dǎo)學(xué)生計算每一個方案中的直線段和斜線段的數(shù)目，比如有：
直線段（m）：8 7 8
斜線段（n）：1 2 2
要是距離最短，必須滿足什么條件呢？
由于連接9個點，至少要有9條線段，而且斜線短長與直線段，所以，盡可能使斜線段的數(shù)目最少。因為連接9點得9條線段中，必須有一條是斜線段。因此，滿足最短距離的設(shè)計方案其直線段是8條，斜線段是1條。
小組交流；
在得到什么是最優(yōu)設(shè)計方案的基礎(chǔ)上，要求其他小組的學(xué)生，根據(jù)判斷標(biāo)準(zhǔn)，補充符合要求的不同的最優(yōu)設(shè)計方案。
歸納總結(jié)
將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把設(shè)計方案抽象為幾何圖形。
通過對圖形的觀察、比較，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系和規(guī)律。比如：
一個圖形可以通過另一個圖形的旋轉(zhuǎn)而得到。
一個圖形可以通過另一個圖形的翻轉(zhuǎn)（即軸對稱）而得到。
一個圖形可以通過另一個圖形的翻轉(zhuǎn)（即軸對稱）再旋轉(zhuǎn)得到。
通過分類，總結(jié)歸納出所有可能的圖形。比如：
按斜線的缺口方向可分成四類，每個方向有兩個圖形，所以，一共有8個圖形。
將其中一個圖形按順時針方向各旋轉(zhuǎn)90°，得到四個圖形；將其中的一個圖形翻轉(zhuǎn)，再按順時針方向各旋轉(zhuǎn)90°，又可得到四個圖形。即：
a b c d
▼ ● ● 旋轉(zhuǎn) ▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
翻轉(zhuǎn)
▼ ● ● 旋轉(zhuǎn)▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
e f g h
圖17
其中：a與e，c與g，d與f是上下對稱關(guān)系，a與g，b與f，c與e，d與h是左右對稱關(guān)系，而任意一個圖形，都可以通過另一個圖形的旋轉(zhuǎn)和對稱而得到（圖17）。
由圖形再回到實際問題。
由③的討論，我們得到，符合條件的最優(yōu)設(shè)計方案的圖形共有8種，考慮到實際問題，對每種圖形，郵遞員可有順時針和逆時針兩種行走方，所以，原問題的最優(yōu)線路有16種。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,185-186.]
平移、旋轉(zhuǎn)和對稱之間的關(guān)系
對同一個圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；
對同一個圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點。
反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。
小學(xué)幾何變換的數(shù)學(xué)問題需要具象的、直觀的操作，讓學(xué)生親自經(jīng)歷直觀操作，是小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)所必需的。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)立足在生活經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，這些生活化、零散的經(jīng)驗和常識，為開展直觀的幾何學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)。
與此同時，小學(xué)幾何變換的課程教學(xué)僅限于在方格紙上進(jìn)行，也就是沿著平行、垂直于方格紙的兩個格的邊緣線進(jìn)行，不涉及直接按斜線方向運動的情形。
參考文獻(xiàn)
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