馬頭二小教研室 劉同學(xué)
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的四個(gè)目標(biāo)分別是：知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題和情感與態(tài)度。其中在“解決問(wèn)題”的課程目標(biāo)中對(duì)“解決問(wèn)題的策略”教學(xué)提出了明確要求：形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性。為了將“解決問(wèn)題的策略”教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處，必須明確解決問(wèn)題不是單純地解數(shù)學(xué)題，而是包括提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型、尋找解決問(wèn)題的策略、制定解決問(wèn)題的計(jì)劃、實(shí)施解決方案、直到最后回顧解決問(wèn)題的過(guò)程的一系列環(huán)節(jié)。它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，旨在為學(xué)生提供一個(gè)發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的機(jī)會(huì)。解決問(wèn)題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體的問(wèn)題的解，更重要的是讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問(wèn)題的基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問(wèn)題的某些策略。學(xué)生所采用的策略在老師的眼中也許有優(yōu)劣之分，但在學(xué)生的思考過(guò)程中并沒(méi)有好壞之別，都反映出學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和所作出的努力。只要解題過(guò)程及答案具有合理性，就值得肯定。這為樹(shù)立學(xué)生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價(jià)值的機(jī)會(huì)。
一 關(guān)于解決問(wèn)題的策略
對(duì)解決問(wèn)題的策略，人們已經(jīng)有很多研究。波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中談及的解決問(wèn)題的策略有普遍化、特殊化、類比、猜想和檢驗(yàn)、畫(huà)一張圖、建立方程、倒著干等。浙江省特級(jí)教師朱德江認(rèn)為解決問(wèn)題的策略有嘗試和檢驗(yàn)、畫(huà)圖、操作、找規(guī)律、制表、從簡(jiǎn)單的情況人手、整理數(shù)據(jù)、從相反的方向思考、列方程、邏輯推理、改變觀點(diǎn)等11種。加拿大的某套數(shù)學(xué)教材中將解決問(wèn)題的策略分為10種，并采用圖文結(jié)合的方式形象地呈現(xiàn)出來(lái)。實(shí)際上我們的教師在教學(xué)實(shí)踐中也各有自己獨(dú)特的解決問(wèn)題的策略。譬如在解分?jǐn)?shù)乘除法的數(shù)學(xué)應(yīng)用中，很多老師都有自己的一套。
我國(guó)課程改革下的實(shí)驗(yàn)教材，不再以傳統(tǒng)的算術(shù)應(yīng)用題內(nèi)容為線索，而是以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為線索，以所學(xué)運(yùn)算體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系為線索，以體現(xiàn)解決問(wèn)題的策略為線索。人教版教材編排了圖示、列舉、列表、找規(guī)律、從簡(jiǎn)單情況入手等解決問(wèn)題的策略。北師大版教材編排的解決問(wèn)題的策略有畫(huà)圖、列表、猜想與嘗試、從特例開(kāi)始尋找規(guī)律等。蘇教版教材采用分散與集中相結(jié)合的原則，從四年級(jí)起集中編有“解決問(wèn)題的策略”單元，安排學(xué)生學(xué)習(xí)摘錄與列表、畫(huà)圖、一一列舉、倒推；替換、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等策略。
從以上的分析，我們可以大致明晰教材中“解決問(wèn)題的策略”的內(nèi)容。
二 學(xué)習(xí)解決問(wèn)題策略的三個(gè)階段
教師不但要思考解決問(wèn)題的策略有哪些，還要思考怎樣幫助學(xué)生形成這些策略。解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí)，不可能脫離解決問(wèn)題的過(guò)程，必須和解決問(wèn)題緊密結(jié)合在一起。也就是說(shuō)，解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí)是基于為了解決問(wèn)題的。解決問(wèn)題，首先是作為學(xué)生感受、體會(huì)、反思解決問(wèn)題策略的手段，其次是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)策略解決新的問(wèn)題。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，解決問(wèn)題的活動(dòng)價(jià)值，不僅僅是解決某一類問(wèn)題，獲得某一類問(wèn)題的結(jié)論，更重要的是在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得發(fā)展，即基于解題的經(jīng)歷，形成相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)、技巧、方法，進(jìn)而通過(guò)反思和提煉，形成一定的解決問(wèn)題的策略。學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握解決問(wèn)題的策略一般要經(jīng)歷潛意識(shí)階段、明朗化階段、深刻化階段。教師要順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，展開(kāi)解決問(wèn)題策略的教學(xué)。
1．走出潛意識(shí)階段
對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的策略，并不是建空中樓閣。他們?cè)谌粘Ｉ钪幸呀?jīng)積累了一些關(guān)于策略的認(rèn)識(shí)，在以往解決問(wèn)題的過(guò)程中也已經(jīng)初步積累了解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但并不一定關(guān)注到了解決問(wèn)題時(shí)隱藏在“背后”支撐解決問(wèn)題的策略，即學(xué)生對(duì)策略的認(rèn)識(shí)處于潛意識(shí)階段。在這個(gè)階段，學(xué)生往往關(guān)注具體的問(wèn)題是否得以解決，對(duì)解決問(wèn)題的策略處于朦朦朧朧、似有所悟的狀況，缺乏應(yīng)有的思考。學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的策略的認(rèn)識(shí)要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，教師可先呈現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生根據(jù)他們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)嘗試解決問(wèn)題，獲得一定的經(jīng)驗(yàn)；再引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，
思考解決問(wèn)題的策略，并通過(guò)回顧性陳述交流，將解決問(wèn)題的策略“化隱為顯”。在回顧性陳述時(shí)，學(xué)生可能會(huì)基于自己的經(jīng)驗(yàn)和理解，提出不同的策略，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系解決問(wèn)題的過(guò)程提煉。
2．步入明朗化階段
學(xué)生對(duì)某一種解決問(wèn)題的策略有了初步的感受后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將策略明朗化。如：呈現(xiàn)新問(wèn)題后，組織學(xué)生思考可以用什么策略解決問(wèn)題，使學(xué)生具有明確的應(yīng)用策略的意識(shí)；解決問(wèn)題后，再組織學(xué)生交流解決問(wèn)題的過(guò)程。這樣，隨著解決問(wèn)題策略的初步應(yīng)用以及對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的回顧與反思，解決問(wèn)題的策略就逐步“浮出水面”并凸現(xiàn)出來(lái)。這里要指出的是，在教學(xué)“新”的解決問(wèn)題策略時(shí)，不能排斥學(xué)生應(yīng)用以往學(xué)習(xí)的解決問(wèn)題策略。學(xué)生學(xué)習(xí)解決問(wèn)題策略的過(guò)程，不是小猴子掰玉米，喜新棄舊，而是在不斷整合、應(yīng)用不同策略的過(guò)程中，豐富自己解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，并在新的問(wèn)題中主動(dòng)、綜合、靈活應(yīng)用各種策略解決問(wèn)題。
3．走向深刻化階段新課標(biāo)第一網(wǎng)
在學(xué)生比較充分地感知了解決問(wèn)題的策略、明確了解決問(wèn)題的策略后，教師要安排一定的練習(xí)，對(duì)相關(guān)策略進(jìn)行集中強(qiáng)化，以加深學(xué)生對(duì)策略的理解與掌握，使學(xué)生對(duì)策略的認(rèn)識(shí)更深刻，逐步達(dá)到運(yùn)用自如的境界。在這一過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)反思自己所使用的策略，促進(jìn)學(xué)生形成穩(wěn)定的解決問(wèn)題的策略。在教師的眼中，學(xué)生采用的策略可能有優(yōu)劣之分，但學(xué)生的思考過(guò)程并沒(méi)有好壞之別，都能反映學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和所作的努力。因此，即使到了鞏固、深化策略的階段，教師仍不應(yīng)急于對(duì)學(xué)生的策略作出評(píng)價(jià)，而應(yīng)給學(xué)生闡明和討論策略的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在交流、傾聽(tīng)中比較不同的策略，優(yōu)化自我的策略。為了深化學(xué)生對(duì)策略的認(rèn)識(shí)，教師可在學(xué)生采用一定的策略解決問(wèn)題后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：自己所采用的解決問(wèn)題的策略有什么特點(diǎn)，適用哪些情況?還可采用什么策略解決問(wèn)題?不同策略之間有無(wú)一定的本質(zhì)聯(lián)系?學(xué)生不斷地經(jīng)歷這樣的思考，就能對(duì)策略的本質(zhì)有更深入的認(rèn)識(shí)，就能得心應(yīng)手地應(yīng)用策略解決問(wèn)題。
策略，有助于在解決問(wèn)題時(shí)走出無(wú)從下手的“沼澤地”；解決問(wèn)題，有助于加深對(duì)策略的認(rèn)識(shí)、理解與掌握。教師要充分認(rèn)識(shí)策略的意義，進(jìn)一步在實(shí)踐中探索學(xué)生形成策略的規(guī)律，將解決問(wèn)題策略的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處。
本冊(cè)教材的解決問(wèn)題策略部分只用了一張紙的容量來(lái)呈現(xiàn)，但它卻是小學(xué)階段實(shí)踐與綜合應(yīng)用環(huán)節(jié)的高度融合。我們?cè)趶?fù)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，不能僅僅依靠這兩頁(yè)教材，而應(yīng)該結(jié)合以前所學(xué)的知識(shí)以及現(xiàn)實(shí)生活中切實(shí)存在的問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生用靈活的策略來(lái)解決。所以本節(jié)知識(shí)不僅要求學(xué)生去學(xué)會(huì)，而應(yīng)該要求學(xué)生會(huì)靈活地選擇合適的策略去解決。
三 教材分析和教學(xué)建議
主要內(nèi)容：梳理在以前學(xué)習(xí)過(guò)程中用到的解決問(wèn)題的策略，如：畫(huà)圖、列表、猜想與嘗試、從特例開(kāi)始尋找規(guī)律等。另外還滲透了體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性的思想。xkb1.com
教學(xué)目標(biāo)：1、整理和梳理解決問(wèn)題的策略它的應(yīng)用范圍是什么。教材提供了部分使用這些策略的情境，便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握。2、鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)各種教學(xué)策略的作用，并能積極嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略。3、體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性。
教學(xué)建議：為了幫助學(xué)生形成解決問(wèn)題的一些基本策略，教師可以從兩個(gè)方面著手：一是明確一些策略，二是為學(xué)生提供使用這些策略的情境。因此，接下來(lái)教材為學(xué)生明確了這套教材中出現(xiàn)的主要策略：畫(huà)圖、列表、猜想與嘗試、從特例開(kāi)始找規(guī)律。教材中涉及的以及人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中用到的不止這四種，有時(shí)人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)會(huì)同時(shí)應(yīng)用兩種或多種策略。學(xué)生已經(jīng)積累了一定的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，了解了一些解決問(wèn)題的策略。教學(xué)時(shí)可以結(jié)合后面的討論：“列舉教材中使用以上策略的例子，并與同伴進(jìn)行交流”，鼓勵(lì)學(xué)生自己對(duì)教材中使用以上策略（或更多策略）的例子進(jìn)行整理，體會(huì)其在解決問(wèn)題中的作用。教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生找一找報(bào)紙雜志等媒體中用到圖、表的案例，體會(huì)它們的作用。
下面我們就教材列舉的四種常見(jiàn)的解決問(wèn)題的策略（畫(huà)圖、列表、猜想與嘗試從特例開(kāi)始尋找規(guī)律）進(jìn)行學(xué)習(xí)和分析。
第一種策略：畫(huà)圖
（1）星期五菜譜。葷菜：肉丸子、蝦。素菜：白菜、豆腐和冬瓜。要求一份盒飯含有一個(gè)葷菜和一個(gè)素菜，一共有幾種配菜方法。比較常見(jiàn)的是用畫(huà)圖的方法來(lái)解決。通過(guò)畫(huà)圖比較形象、直觀地將幾種方法呈現(xiàn)出來(lái)。（2）在第一學(xué)段學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，個(gè)、十、百、千等用方塊圖來(lái)呈現(xiàn)更容易讓學(xué)生接受，且比較形象直觀。學(xué)生記得深，記得牢。第二學(xué)段數(shù)的運(yùn)算：利用陰影圖形的疊放次序?qū)⒎謹(jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算法則的推導(dǎo)比較直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。同樣的第二學(xué)段用折線圖來(lái)表現(xiàn)變化的量之間的關(guān)系將汽車(chē)行駛的速度與時(shí)間之間的關(guān)系形象的表示出來(lái)。簡(jiǎn)單、易懂。（3）畫(huà)線段圖分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。這一方法受到廣大教師的認(rèn)可。很多老師在實(shí)際教學(xué)中都善于將這種方法來(lái)作為解決問(wèn)題的一個(gè)好辦法。
有關(guān)畫(huà)圖的方法，我們很多老師在實(shí)際教學(xué)中都有自己獨(dú)特的一套。譬如：在上復(fù)習(xí)課時(shí)，通過(guò)畫(huà)樹(shù)形圖來(lái)幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型等。多數(shù)老師都應(yīng)用的得心應(yīng)手。從上可以看出畫(huà)圖有助于我們對(duì)問(wèn)題的直觀理解，可以幫助我們找到解決問(wèn)題的思路。學(xué)生畫(huà)的圖只要能有效地幫助解決問(wèn)題即可，不必強(qiáng)求統(tǒng)一的格式。
第二種策略：列表
列表也是重要的解決問(wèn)題的策略。關(guān)于列表的作用，教材從兩個(gè)方面進(jìn)行了歸納：（1）列表可以幫助我們整理信息，進(jìn)行推理；（2）列表能幫助我們分析兩個(gè)量之間的關(guān)系，尋找規(guī)律。教材中列舉的兩個(gè)實(shí)例一個(gè)是根據(jù)提供的信息選擇笑笑和小明各喜歡什么項(xiàng)目的興趣小組，另一個(gè)是根據(jù)提供的小明的體重變化情況來(lái)分析小明10歲以前體重是如何隨年齡增長(zhǎng)而變化的。數(shù)據(jù)直觀呈現(xiàn)，便于比較選擇。在實(shí)際教學(xué)中我們還有很多這樣的經(jīng)驗(yàn)可以借鑒和推廣。如：統(tǒng)計(jì)與概率單元中大量的一手材料都可以用列表的方法進(jìn)行整理和推理。
第三種策略：猜想與嘗試
教材呈現(xiàn)的第一個(gè)例子是雞兔同籠問(wèn)題，有20個(gè)頭，54條腿，問(wèn)雞兔各有多少只。以前我們經(jīng)常教學(xué)生用假設(shè)法來(lái)解題，重點(diǎn)是放在了具體的解上，現(xiàn)在我們的重點(diǎn)是放在了解決問(wèn)題策略的學(xué)習(xí)上，體現(xiàn)了“猜想與嘗試”的解決問(wèn)題的重要策略。可以提倡學(xué)生用不同的方法來(lái)得到答案，教材上列舉的嘗試法，就能讓學(xué)生很好的投入到知識(shí)的探索過(guò)程中去。同時(shí)在學(xué)生列舉、檢驗(yàn)的過(guò)程中不斷調(diào)整，對(duì)學(xué)生對(duì)數(shù)的感覺(jué)估計(jì)的能力、判斷能力都得到了發(fā)展。第二個(gè)例子是通過(guò)長(zhǎng)方體、正方體的體積等于底面積乘高，來(lái)類比猜想圓柱的體積的計(jì)算方法。提出你的猜想并驗(yàn)證實(shí)施。學(xué)生有了想法作引導(dǎo)，驗(yàn)證起來(lái)就有了目標(biāo)和方向。在這一過(guò)程中，可以看出歸納、類比是獲取猜想的重要方式。
第四種策略：從特例開(kāi)始尋找規(guī)律
這種策略體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的“退”的思路。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“善于退，足夠地退，退到原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅！”在問(wèn)題復(fù)雜時(shí)，我們可以退一步去考查它最簡(jiǎn)單的情形，有最簡(jiǎn)單問(wèn)題解決的方法推廣至較復(fù)雜的問(wèn)題的情形，最終總結(jié)出規(guī)律，使復(fù)雜的問(wèn)題得以解決。教材選取的例子是10名同學(xué)參加乒乓球比賽，如果每2名同學(xué)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比賽多少場(chǎng)？由參加較少的人數(shù)和比賽場(chǎng)次增加的規(guī)律可以明顯的看出它們之間的變化規(guī)律來(lái)。n個(gè)人參加比賽，將有1+2+…n-1場(chǎng)比賽。實(shí)際上這一情境比較具有代表性，象計(jì)算握手次數(shù)、按規(guī)律填數(shù)等題目均可按這一策略來(lái)進(jìn)行解決。
討論部分：列舉教材中使用以上策略的例子，并與同伴進(jìn)行交流。在學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)時(shí)應(yīng)該緊緊圍繞教材，抓住生活當(dāng)中的具體事例來(lái)進(jìn)行研究、探索。鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)教材中使用以上策略的例子進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步理解各種策略的作用。教師一定要重視此項(xiàng)活動(dòng)，并組織學(xué)生進(jìn)行交流。教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)教材中出現(xiàn)的其他策略及其例子，只有這樣，才能真正體現(xiàn)策略的研究?jī)r(jià)值。
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