主要內容
正比例和反比例
學習目標
1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。
2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。
3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。
4、使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，養成積極主動地參與學習活動的習慣，提高學好數學的信心。
考點分析
1、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。
如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。
2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據一種量的值，估計另一種量相對應的值。
3、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。
如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的積，反比例關系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ = K（一定）。
4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關系，這兩個變量不成比例。
典型例題
例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系？
時間/時 1 2 3 4 5 6 ……
路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……
分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。
（2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關聯的量。
（3）路程和時間的比值始終不變， = 120， = 120， = 120……這個比值就是火車的行駛速度。
通過觀察和計算，我們對路程和時間的關系有兩點發現：第一點路程和時間是兩種相關聯的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和對應的時間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關系： = 速度（一定）。
具備了這兩個條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時間成正比例關系；行駛的路程和時間成正比例的量。
點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示： = K（一定）。
例2、（判斷是否成正比例）
練習本的單價一定，買練習本的數量和總價是不是成正比例？為什么？
分析與解：根據正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。
買練習本的數量和總價是兩種相關聯的量，它們與練習本的單價有下面的關系：
= 練習本的單價（一定）
所以練習本的數量和總價成正比例。
例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下。
時間/分 1 2 3 4 5 6 7 ……
路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……
（1）圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。
（2）連接各點，它們在一條直線上嗎？
（3）根據圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？ 路程/千米
42
35
28
21
14
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 時間/分
分析與解：根據提供的各組數據描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應的數的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據時間的值估計出路程的值，也可以根據路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。
（1）描點、連線如圖。
路程/千米
42 ●
35 ●
28 ●
21 ●
14 ●
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 時間/分
（2）在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。
（3）根據圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。
例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？
分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。
可列表判斷。
半徑/cm 1 2 3 4 5 6 ……
直徑/cm 2 4 6 8 10 12 ……
周長/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……
面積/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……
圓的周長和直徑的相對應的數的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。
圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。
例5、（反比例的意義）
下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系？
每小時加工零件的個數/個 20 30 40 60 80 ……
加工的時間/時 12 8 6 4 3 ……
分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數和加工的時間兩種量。（2）從左往右看，每小時加工零件的個數擴大，加工的時間反而縮小；從右往左看，每小時加工零件的個數縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯的量。（3）每小時加工零件的個數和相對應的加工的時間的積都始終不變，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數。
通過觀察和計算，我們發現：每小時加工零件的個數和加工的時間是兩種相關聯的量，每小時加工零件的個數隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關系：每小時加工零件的個數 × 加工的時間 = 零件的總個數（一定）。
所以每小時加工零件的個數和加工的時間成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。
點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ = K（一定）。
例6、（判斷是否成反比例）
總產量一定，每公頃的產量和公頃數是不是成反比例？為什么？
分析與解：根據反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。
每公頃的產量和公頃數是兩種相關聯的量，它們與總產量有下面的關系：
每公頃的產量 × 公頃數 = 總產量（一定）
所以每公頃的產量和公頃數成反比例。
例7、（辨析）和一定，一個加數和另一個加數成反比例。
分析與解：判斷兩個變量是否成反比例，關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數的積是變化的，所以它們不成反比例。
和一定，一個加數和另一個加數不成反比例。因為它們的積不一定。
點評：有些相關聯的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也 不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數一定，被減數和差等。
例8、（綜合題1）
（1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？
（2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？
分析與解：判斷時可以用列表的方式列舉數據，也可以根據計算的公式來推導。
（1）因為長方形的長 × 寬 = 長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。
（2）長方形的周長 = （長+寬）× 2 ，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。
例9、（綜合題2）
分別說明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，每兩種量的比例關系。
（1）大米的總千克數一定，每天吃的千克數和天數；
（2）每天吃的千克數一定，大米的總千克數和天數；
（3）天數一定，大米的總千克數和每天吃的千克數。
分析與解：在大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，當某一種量一定時，另外兩種量可能成正比例關系，也可能成反比例關系。可以根據數量關系式來判斷。
（1）因為每天吃的千克數 × 天數 = 大米的總千克數（一定），所以大米的總千克數一定時，每天吃的千克數和天數成反比例。
（2）因為 = 每天吃的千克數（一定），所以每天吃的千克數一定時，大米的總千克數和天數成正比例。
（3）因為 = 天數（一定），所以天數一定時，大米的總千克數和每天吃的千克數成正比例。
小學數學總復習專題講解及訓練（八）
模擬試題
1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關系嗎？有什么關系？為什么？
表格1
數量/本 1 3 6 8 10 20 ……
總價/元 4 12 24 32 40 80 ……
表格2
單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
總價/元 6 8 12 16 20 24 ……
表格3 用60元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數量如下表：
單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
數量/本 40 30 20 15 12 10 ……
2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。
題中（ ）量一定，關系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。
題中（ ）量一定，關系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中
當底面周長一定時，（ ）與（ ）成（ ）比例；
當高一定時，（ ）與（ ）成（ ）比例；
當側面積一定時，（ ）與（ ）成（ ）比例。
5、在被除數、除數、商這三種量中，
當（ ）一定時，（ ）與（ ）成正比例；
當（ ）一定時，（ ）與（ ）成反比例；
6、當 a × b ＝ c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。
( )一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
7、判斷。
（1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（ ）
（2）、圖上距離和實際距離成正比例。（ ）
（3）、X和Y表示兩種變化的相關聯的量，同時5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ ）
（4）、分數的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）
（5）、在一定的距離內，車輪周長和它轉動的圈數成反比例。 （ ）
（6）、兩種相關聯的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）
（7）訂閱《小學數學評價手冊》的份數與所需錢數成正比例。 ( )
（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。 ( )
（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )
（10）正方體的棱長和體積成正比例。 ( )
（11）被除數一定，除數和商成反比例。 ( )
（12）圓的周長和它的直徑成正比例。 ( )
8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數和所需的天數（ ）。
（2）、正方形的邊長和周長（ ）。
（3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（ ）。
（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數（ ）。
（5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數（ ）。
（6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數和加工零件的個數（ ）。
9、思考：明明三歲時體重12千克，十一歲時體重44千克。于是小張就說：“明明的體重和身高成正比例。”你認為小張的說法對嗎？為什么？
10、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時┈┈各造紙多少噸？
（1）把下表填寫完整。
造紙時間/時 1 2 3 4 ……
造紙噸數/噸 1.5 ……
（2）根據表中的數據，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點，再把它們連起來。 噸數/噸
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 時間/時
（3）造紙噸數與造紙時間成正比例嗎？為什么？
（4）根據圖像判斷， 5小時造紙多少噸？
參考答案：
1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關系嗎？有什么關系？為什么？
表格1
數量/本 1 3 6 8 10 20 ……
總價/元 4 12 24 32 40 80 ……
= 4， = 4， = 4 ……
因為 = 單價（一定），所以單價一定時，總價和數量成正比例。
表格2
單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
總價/元 6 8 12 16 20 24 ……
= 4， = 4， = 4 ……
因為 = 數量（一定），所以數量一定時，總價和單價成正比例。
表格3 用60元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數量如下表：
單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
數量/本 40 30 20 15 12 10 ……
1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ……
因為單價 × 數量 = 總價（一定），所以總價一定時，單價和數量成反比例。
2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。
題中（ 紙的總頁數 ）量一定，關系式：（ 每本頁數 ） × （ 裝訂本數 ）＝（ 紙的總頁數 ）（一定），（ 每本頁數 ）和（ 裝訂本數 ）成（ 反 ）比例。
3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。
題中（ 會客室地面面積 ）量一定，關系式：（ 每塊磚的面積 ）×（ 磚的塊數 ）＝（ 會客室地面面積 ）（一定），（ 每塊磚的面積 ）和（ 磚的塊數 ）成（ 反 ）比例。
4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中
當底面周長一定時，（ 側面積 ）與（ 高 ）成（正）比例；
當高一定時，（ 側面積 ）與（ 底面周長 ）成（正）比例；
當側面積一定時，（ 底面周長 ）與（ 高 ）成（ 反 ）比例。
5、在被除數、除數、商這三種量中，
當（ 除數 ）一定時，（ 被除數 ）與（ 商 ）成正比例；
當（ 被除數 ）一定時，（ 除數 ）與（ 商 ）成反比例；
6、當 a × b ＝ c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。
( c )一定，（ a ）與（ b ）成（ 反 ）比例；
（ a ）一定，（ c ）與（ b ）成（ 正 ）比例；
（ b ）一定，（ c ）與（ a ）成（ 正 ）比例；
7、判斷。
（1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。 （ √ ）
（2）、圖上距離和實際距離成正比例。 （ × ）
（3）、X和Y表示兩種變化的相關聯的量，同時5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ × ）
（4）、分數的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ √ ）
（5）、在一定的距離內，車輪周長和它轉動的圈數成反比例。 （ √ ）
（6）、兩種相關聯的量，不成正比例，就成反比例。 （ × ）
（7）訂閱《小學數學評價手冊》的份數與所需錢數成正比例。 ( √ )
（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。 ( √ )
（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( × )
（10）正方體的棱長和體積成正比例。 ( × )
（11）被除數一定，除數和商成反比例。 ( √ )
（12）圓的周長和它的直徑成正比例。 ( √ )
8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數和所需的天數（ 反比例 ）。
（2）、正方形的邊長和周長（ 正比例 ）。
（3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（ 反比例 ）。
（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數（ 反比例 ）。
（5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數（ 反比例 ）。
（6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數和加工零件的個數（ 正比例 ）。
9、思考：明明三歲時體重12千克，十一歲時體重44千克。于是小張就說：“明明的體重和身高成正比例。”你認為小張的說法對嗎？為什么？
答：小張的說法是錯誤的，體重和身高不是兩種相關聯的量，體重和身高不成比例。
10、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時┈┈各造紙多少噸？
（1）把下表填寫完整。
造紙時間/時 1 2 3 4 ……
造紙噸數/噸 1.5 3 4.5 6 ……
（2）根據表中的數據，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點，再把它們連起來。 噸數/噸
6 ●
5
4
3 ●
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 時間/時
（3）造紙噸數與造紙時間成正比例嗎？為什么？
因為 = 每小時造紙噸數（一定），所以每小時造紙噸數一定時，造紙噸數與造紙時間成正比例。
（4）根據圖像判斷，5小時造紙多少噸？
根據圖像判斷，5小時造紙7.5噸