一、教學目標
(一) 知識與技能
1、結(jié)合具體情境，初步了解統(tǒng)計推斷的基本方法。
2、進一步理解概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系。
(二) 過程與方法
1、 經(jīng)歷具體問題的探究過程，提高學生利用統(tǒng)計與建模的思想解決實際問題的能力。
2、 經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，發(fā)展學生合作交流的意識和能力。
(三) 情感、態(tài)度與價值觀
在解決學生熟悉的實例的過程中，讓學生體會數(shù)學的價值，體驗成功的快樂，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。
二、教材分析
本節(jié)內(nèi)容是在學生初步理解實驗頻率穩(wěn)定于理論概率的基礎(chǔ)上進一步提出的一個現(xiàn)實生活模型。其試驗方法本身是一個統(tǒng)計活動，而估計方法的理論依據(jù)則是概率問題。為此，教學中要注意引導回顧概率的獲得方法及其與統(tǒng)計之間的內(nèi)在聯(lián)系。
本節(jié)的重點是方案的獲得和模型的實驗，難點是方案的獲得，關(guān)鍵是模型的建立。
三、學校及學生狀況分析
我校是一所農(nóng)村初級中學，該班是根據(jù)學生進入初中的學業(yè)成績、興趣特長以及性格特征平行分班組成的一個班級。有58名學生，學生的學習習慣和智力水平一般，學生素質(zhì)參差不齊，大部分學生能積極參與課堂教學，表現(xiàn)出強烈的探究意識，也有少部分學生因為基礎(chǔ)偏差學習吃力。由于學校地處長江中下游一帶，加之鄉(xiāng)村周邊水庫及池塘密布，學生接觸養(yǎng)魚的機會眾多，應(yīng)該說如何估計一個池塘的魚的數(shù)目對于當?shù)貙W生是有相當?shù)默F(xiàn)實意義的，學生學習數(shù)學的價值在本課題中也能得到最為直接的體現(xiàn)。教學中擬實行小組合作交流并適時營造組間競爭氛圍，因人而異，分層要求，讓不同的學生學習不同的數(shù)學，力求學習方式的多元化。
四、教學設(shè)計
【一】 創(chuàng)設(shè)情景
投影展示：
問題：要想知道一個魚缸里有幾條魚，只要數(shù)一數(shù)就可以了。現(xiàn)在我鎮(zhèn)天龍灣百畝魚塘的李老板想知道他的池塘里大約有多少條魚，采用什么方法可以知道？請大家?guī)退胍幌朕k法．
（關(guān)鍵詞：大約，由學生自主發(fā)言，表達自己的意見或想法）
生1：撈上來清點。
師：你這是一種思路，但還是不準確。我看干脆抽干里面的水逐一清點。
生2：這樣做不現(xiàn)實，魚會死掉；再說老板的目的只是估計，不必這樣費事。
……
池塘里有多少條魚？怎樣估計？下面我們先來做一個熟悉的實驗。
【二】 模型探究
問題1：一個口袋里裝有8顆黑棋，32顆白棋，任意摸出1顆，摸到黑棋的概率有多大？若任意摸出10顆，你能推斷這10顆中可能有幾顆黑棋嗎？為什么？
（教師演示后，學生順利作答。）
問題2：一個裝有若干圍棋子的口袋里，只知道有8顆黑棋，那么有沒有辦法估計口袋里的白棋數(shù)？
（關(guān)鍵條件：其中已知有8顆黑棋，其余均為白棋。學生分組準備好實驗器具。）
師提示：根據(jù)規(guī)則，棋子不能全部摸出來數(shù)，也就是說，棋子可以摸一顆后放回，也可以摸一部分后放回（教師可以做一些動作演示）。
（由學生分組討論，確定一名中心發(fā)言人交流。）
生（陳誠）：可以從口袋中每次任意摸出一顆棋子，記下顏色后放回，多摸幾次后，以黑白次數(shù)比估計全體黑棋與全體白棋的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
生（官雙藝）：可以從口袋中每次任意摸出一把棋子，記下黑白數(shù)目比后放回，以黑白數(shù)目比來估計全體黑棋與全體白棋的數(shù)目比，從而推斷口袋中的白棋數(shù)目。
師：兩個組的同學的回答都非常精彩，陳誠同學說的是用摸黑摸白的頻數(shù)比來估計全體，而官雙藝同學說的是從部分看全體，即通過抽取樣本進行分析來估計全體。為了鼓勵他們，我們就用他們的名字命名這兩種方案，分別稱為“陳誠法”和“官雙藝法”，大家說好不好？
生齊答：好。
師：那大家想不想用這兩種方法試驗試驗？
生：（躍躍欲試）
師：那好，動起來。
在每個小組的口袋里放入8顆黑棋和若干顆白棋，分組利用自己準備的實驗材料進行兩個方案的實驗，并分發(fā)給每個小組實驗記錄表格如下（投影展示兩個表格）：
（說明：1. 各個小組均發(fā)放32顆白棋，這一點由教師控制，不讓學生知道其數(shù)目，也不允許各個小組事先清點。2.各個小組在同一時間內(nèi)先后用兩種方案進行實驗，同時，依據(jù)表格1進行的實驗次數(shù)統(tǒng)一為200次，依據(jù)表格2進行的實驗次數(shù)統(tǒng)一為20次，每次取出棋子總數(shù)統(tǒng)一為10顆。這樣，一方面平衡了各小組的實驗時間及進度，又不失學生自主發(fā)展的空間，有利于教者把握整個教學節(jié)奏，避免課堂局面的失控；另一方面在活動的組織上分組的同時又分兩個方案并行，又不失學生探索交流的空間，有利于雙向比較與評價，即縱向上的兩種實驗方案的對比和橫向上各小組實驗情況的對比，實現(xiàn)了組內(nèi)合作與組間競爭的辯證統(tǒng)一。）
由此得到的估計結(jié)果是：_________
（說明：教師深入各個小組，觀察并參與他們的實驗，注意學生在每次實驗前是否將口袋里的棋子和勻、每次實驗后是否將棋子放回、記錄數(shù)據(jù)的方法是否正確、小組成員的參與程度等，以便于培養(yǎng)每一位學生的動腦動手能力。）
實驗交流：
1、 打開口袋，數(shù)數(shù)口袋中白棋的顆數(shù)。
2、 各組匯報兩種方案的實驗結(jié)果，比較同組的兩種方案哪個更準確；比較同一方案各組實驗的結(jié)果哪個更準確。
3、師問：為了提高實驗估計結(jié)果的可信度，你有什么改進的辦法？
生1：增加實驗的次數(shù)。
師：很好，有敏銳的直覺，增加實驗的次數(shù)，也就意味著可以得到更多的數(shù)據(jù)。那么如果不再繼續(xù)重復(fù)實驗，就現(xiàn)有的實驗結(jié)果，大家還有其他的改進辦法嗎？
生2：將各組的實驗數(shù)據(jù)匯總之后再作估計。
師：非一般的思維，請問你是怎樣想到的呢？
生2：因為匯總各組的實驗數(shù)據(jù)，相當于增加了實驗的次數(shù)。
師：回答的非常好，大家都明白了嗎？
師：請各組推薦一名代表，帶上記錄表上臺，分兩組將各組的兩種方案的數(shù)據(jù)分別匯總；然后再估算一下。
（投影展示：兩種實驗的全班匯總結(jié)果。）
4、大家還能根據(jù)剛才的實驗談?wù)剝煞N方案的優(yōu)缺點嗎？
生：……（眾說紛紜）
師：大家都能勇于表達自己的觀點，各自的想法也都有一定的道理。我們可以概括一下：
1. 如果試驗次數(shù)足夠多，第一種方法結(jié)果比較準確，但實踐中人們不能無限度地重復(fù)實驗，故其實際意義不大。
2. 第二種方法當總數(shù)較小時，其精確度可能較差，但對于許多總數(shù)較大的實際問題，此法方便可行。
【三】變式探究
問題：剛才實驗中的棋子是有黑有白，現(xiàn)在如果一個口袋里只有若干白棋，又該如何估計口袋里的棋子數(shù)呢？談?wù)勀愕目捶ā?/p>
生1：另外找?guī)最w黑棋放入口袋就可以了。
師：非常棒的轉(zhuǎn)化，再為難一下大家，假如找不到黑棋子，又該怎么辦？
生2：將口袋中的幾顆棋子染成黑色。
師：好主意，事實上也就是給其中幾顆棋子做上了標記。
（說明：意在引導學生學會變通。）
【四】解釋應(yīng)用
問題1：如果我們把口袋想象成池塘，那么圍棋子可當作什么呢？（培養(yǎng)建模意識）
生：池塘里的魚。
師：多有意思的想象啊，大家認同這種想象嗎？
生：（紛紛點頭）
師：這樣看來，棋子問題與魚的問題似乎有相似之處，解決了棋子問題，魚的問題也就不遠了。
問題2：現(xiàn)在你能為魚塘的李老板設(shè)計一種估計池塘中魚的總數(shù)的方案嗎？
生1：我們可以先撈出若干條魚，將它們記上標記，然后再放回魚塘，等魚分布均勻后，再撈出一條魚，觀察是否有記號后放回，經(jīng)過多次重復(fù)后，以有標記的魚和無標記的魚的比例估計魚塘里魚的數(shù)量。
生2：我們可以先撈出若干條魚，將它們記上標記，然后再放回魚塘，等魚分布均勻后，再從中隨機捕撈若干條魚，并以其中有標記的魚和無標記的魚的比估計魚塘里魚的數(shù)量。
師：兩個同學都動了腦筋，大家還可以進一步思考，從動手操作的角度來看，那種思路更為簡便易行？
（說明：在完成了實驗且解決了口袋中全是白棋的估計方法后，引導學生思考該方法在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，逐步回到本節(jié)課的主題--如何估計池塘里魚的數(shù)目。學生課堂上口述方法，要求其課后書寫詳細方案，作為成長記錄保存在檔案袋中。）
【五】拓展應(yīng)用
問題1：你能進一步設(shè)計一個方案，估算出魚塘中魚的產(chǎn)量嗎？
問題2：往一個裝了很多黑球的袋子里放入10個白球，每次倒出5個，記下所倒出的白球的數(shù)目，再把它們放回去，共倒了120次，倒出白球共180個，袋子里原有黑球約多少個？
問題3：宜都、紅花兩地對開的公共汽車共有黃色、綠色兩種外觀顏色，其中綠色外觀的有10輛，張先生經(jīng)常乘座公共汽車從紅花前往宜都出差辦事，他能用合適的辦法估計宜都、紅花兩地對開的公共汽車總數(shù)嗎？談?wù)勀愕目捶?/p>
（小組討論后選代表交流，師不作過多評價，留給學生自主探究的懸念與空間。）
【六】歸納質(zhì)疑
師：通過這節(jié)課的學習大家都有哪些收獲和疑問？利用今天的方法還可以解決生活中的哪些問題?舉例說明。
生1：一個家庭一年要丟棄多少個塑料袋？
生2：一片森林里有多少只錦雞？
生3：一次抽獎活動中的中獎率有多大？
……
五、教學反思
本節(jié)課的主旨是希望學生“動”起來，通過不同的情景與話題讓學生動口、動腦、動手。在本節(jié)課的實施過程中，自已感受最深的體會有三：
1. 提供貼近生活的學習素材，是激活學生學習動機的基礎(chǔ)。
在問題的設(shè)計中，讓學生首先親身經(jīng)歷數(shù)學問題的現(xiàn)實場景--池塘里有多少魚？從而看到有價值的數(shù)學，促使其用數(shù)學觀點進行解釋與應(yīng)用，使得整個學習活動更為生動活潑，學生也在這種生動的問題情景中，獲得了對數(shù)學知識的理解與認同。
2. 設(shè)計動態(tài)平衡的活動方案，是激發(fā)學生積極動手的基礎(chǔ)。
在活動的設(shè)計中，我們考慮的是一種動態(tài)平衡，而不是一種盲動和簡單的圖熱鬧。基于此，活動給了學生相同的起點（相同的白棋數(shù)目，相同的樣本容量，相同的實驗次數(shù)，相同的實驗時間），這有效地協(xié)調(diào)了各組活動的進度，避免了課堂節(jié)奏的失控。但同時我們也能看到，學生到達的終點卻可能是不同的（不同小組的不同結(jié)果，不同方案的不同精確度，不同方案的不同可行度，不同成員的不同收獲）。
3. 組織實力相當?shù)幕顒有〗M，是激勵學生協(xié)作競爭的基礎(chǔ)。
對于活動的分組，注意了把握“組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)”的原則，一方面發(fā)揮了組內(nèi)成員相互協(xié)作的意識，不同的人可以發(fā)揮不同的作用，如基礎(chǔ)較差的學生可以進行一些操作活動，基礎(chǔ)較好的學生可以進行數(shù)據(jù)的分析及結(jié)果的估計，使不同層次的學生有不同的提高，又不失對數(shù)學學習興趣的一種持續(xù)發(fā)展，同時也實現(xiàn)了學生間的一種互動對話及交流。另一方面激發(fā)了組間成員相互競爭的意識，每個成員服務(wù)于自己的小團隊，如果自己獲得了成功，會感覺到為自己的小集體爭了光，如果自己團隊中的成員有上佳表現(xiàn)，自己也為自己在這個團隊中而感到無尚光榮。
總之，我想，如果我們的課堂教學能夠追求和探討這種動的氛圍和動態(tài)平衡，使得學生競爭中有合作，合作中有競爭，就一定能實現(xiàn)教師與學生在合作探究中共同發(fā)展，從而實現(xiàn)真正意義下的課程改革。
六、案例點評
讓學生學習有價值的數(shù)學，讓不同的人在數(shù)學學習活動中得到不同程度的發(fā)展，讓學生在合作、交流、互動中學會學習數(shù)學--這一課改的新理念在本節(jié)課中得到了較好的體現(xiàn)。
其一、注重讓學生從學習素材中體會數(shù)學的實用價值，增強學生學好數(shù)學的欲望。本課中選取的估算池塘里魚的條數(shù)、公汽輛數(shù)等貼近學生生活的問題，對學生極具現(xiàn)實性和挑戰(zhàn)性，學生從一接觸便產(chǎn)生了濃厚興趣。
其二、注重讓學生在學習活動中領(lǐng)悟數(shù)學思想，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。本節(jié)課從學生熟悉的“摸棋子”問題出發(fā)，將“魚”與“棋子”建立聯(lián)系，引導學生經(jīng)歷了建模的全過程，隨后又讓學利用“模型”解決身邊的一系列實際問題，使學生體驗了數(shù)學的高度抽象性和廣泛適用性。
其三、注重將學生的自主探究與互助合作有機整合，提高了全體學生學習的有效性。數(shù)學教學應(yīng)該是“數(shù)學活動”的教學，但是，如何實現(xiàn)課堂上動與靜的結(jié)合、點與面的兼顧，卻是目前課改中教師普遍感到困惑的一個難題。本節(jié)課，教師依據(jù)“組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)”的原則編組，使得組內(nèi)互助與組間競爭能夠同時得以實現(xiàn)；學習活動中，方案設(shè)計、動手操作、統(tǒng)計分析分工明細合理，使得不同水平的學生都能恰有一份“合適的工作”；“陳誠法”、“官雙藝法”等優(yōu)秀學生的思維引領(lǐng)，既強化了具有“首創(chuàng)精神”學生的成就感，又是給學有困惑學生的一種恰到好處的啟導。