霍奇猜想
霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想，屬于世界十大數(shù)學(xué)難題之一。
龐加萊猜想
龐加萊猜想是法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個猜想，其中三維的情形被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。2006年，數(shù)學(xué)界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。提出這個猜想后，龐加萊一度認為自己已經(jīng)證明了它。
黎曼假說概述
有些數(shù)具有特殊的屬性，它們不能被表示為兩個較小的數(shù)字的乘積，如2，3，5，7，等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)（或質(zhì)數(shù)），在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它們發(fā)揮了重要的作用。所有的自然數(shù)中的素數(shù)的分布并不遵循任何規(guī)律。然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼（1826年—1866年）觀察到，素數(shù)的頻率與一個復(fù)雜的函數(shù)密切相關(guān)。
楊米爾斯的存在性和質(zhì)量缺口
楊米爾斯的存在性和質(zhì)量缺口是世界十大數(shù)學(xué)難題之一，問題起源于物理學(xué)中的楊·米爾斯理論。該問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規(guī)范群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個預(yù)言存在質(zhì)量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學(xué)家尚未完全理解的自然界的基本方面。
納維—斯托克斯方程
建立了流體的粒子動量的改變率（加速度）和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力（類似于摩擦力）以及重力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維—斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡，這在流體力學(xué)中有十分重要的意義。
四色猜想
四色猜想的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標(biāo)記就行。
用數(shù)學(xué)語言表示即“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1234這四個數(shù)字之一來標(biāo)記而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字。”這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區(qū)域只相遇于一點或有限多點就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。
哥德巴赫猜想
1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：
1、任何不小于6的偶數(shù)，都是兩個奇質(zhì)數(shù)之和；
2、任何不小于9的奇數(shù)，都是三個奇質(zhì)數(shù)之和。
這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。
同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當(dāng)時還無法給出證明。由于歐拉是當(dāng)時歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數(shù)學(xué)界。從那以后，許多數(shù)學(xué)家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀(jì)末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數(shù)學(xué)家把哥德巴赫猜想比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。
我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83等這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內(nèi)的所有偶數(shù)，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀(jì)，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對于更大的數(shù)依然成立。可是自然數(shù)是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數(shù)上，突然出現(xiàn)哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。
幾何尺規(guī)作圖問題
尺規(guī)作圖相傳神話中的一個國王對兒子給他造的墳?zāi)共粷M意，命令把墳?zāi)箶U大一倍，但是當(dāng)時的工匠都不知如何解決。后來，德利安人為了擺脫某種瘟疫，遵照神諭，必須把阿波洛的立方體祭壇擴大一倍。據(jù)說，這個問題提到柏拉圖那里，柏拉圖又把它交給了幾何學(xué)家．這就是著名的倍立方問題。除倍立方問題外，還有三等分任意角、化圓為方（作一正方形，使其面積等于給定的圓面積）。 古希臘人用尺規(guī)作圖，主要目的在于訓(xùn)練智力，培養(yǎng)邏輯思維能力，所以對作圖的工具有嚴(yán)格的限制。他們規(guī)定作圖只能用直尺和圓規(guī)，而他們所謂的直尺是沒有刻度的。正是在這種嚴(yán)格的限制下，產(chǎn)生了種種難題。
在數(shù)學(xué)史中，很難找到像這樣長期被人關(guān)注的問題．兩千多年以來，無數(shù)人的聰明才智傾注于這三個問題而毫無結(jié)果。但對這三個問題的深入探索，促進了希臘幾何學(xué)的發(fā)展，引出了大量的發(fā)現(xiàn)，如圓錐曲線、許多二次和三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)等；后來又有關(guān)于有理域、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、群論和方程論若干部分的發(fā)展。直到19世紀(jì)，即距第一次提出這三個問題兩千年之后，這三個尺規(guī)作圖問題才被證實在所給的條件下是不可能解決的。