新版初一數(shù)學(xué)一元一次方程的應(yīng)用

　　1、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

　　（1）審題：弄清題意

　　（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系

　　（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程

　　（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值

　　（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案

　　2、和差倍分問題

　　增長量=原有量×增長率 現(xiàn)在量=原有量+增長量

　　3、等積變形問題

　　常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變

　　①圓柱體的體積公式 V=底面積×高=S·h=πr2h

　　②長方體的體積 V=長×寬×高=abc

　　4、數(shù)字問題

　　一般可設(shè)個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c

　　十位數(shù)可表示為10b+a， 百位數(shù)可表示為100c+10b+a

　　然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程

　　5、市場經(jīng)濟問題

　　（1）商品利潤=商品售價—商品成本價 （2）商品利潤率=商品利潤/商品成本價×100%

　　（3）商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量

　　（4）商品的銷售利潤=（銷售價—成本價）×銷售量

　　（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售、

　　6、行程問題：路程=速度×?xí)r間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間

　　（1）相遇問題： 快行距+慢行距=原距

　　（2）追及問題： 快行距—慢行距=原距

　　（3）航行問題：順水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

　　逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度—水流（風(fēng)）速度

　　抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系

　　7、工程問題：工作量=工作效率×工作時間

　　完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

　　8、儲蓄問題

　　利潤=每個期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100% 利息=本金×利率×期數(shù)

　　習(xí)題：

　　1、將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

　　解：設(shè)甲、乙一起做還需x小時才能完成工作、

　　根據(jù)題意，得

　　1/6×1/2+（1/6+1/4）x=1

　　解這個方程，得x=11/5

　　11/5小時=2小時12分

　　答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作、

　　2、兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

　　解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x

　　由題意，得2×（9+x）=15+x

　　18+2x=15+x，2x—x=15—18

　　∴x=—3

　　答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍

　　（點撥：—3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點前的3年，是與3年后具有相反意義的量）

　　3、將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0、1毫米，π≈3、14）、

　　解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得

　　π·（200/2）2x=300×300×80

　　x≈229.3

　　答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米

　　4、有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長

　　解：設(shè)第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為（2x—50）米，過完第一鐵橋所需的時間為x/600分

　　過完第二鐵橋所需的時間為2x—50/600分

　　依題意，可列出方程

　　x/600 + 5/60 = 2x—50/600

　　解方程x+50=2x—50

　　得x=100

　　∴2x—50=2×100—50=150

　　答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米。

　　5、有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5，這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

　　解：設(shè)這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克

　　根據(jù)題意，得2x+3x+5x=50

　　解這個方程，得x=5

　　于是2x=10，3x=15，5x=25

　　答：這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克，15克和25克

　　6、某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個、在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件、已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元、若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件

　　解：設(shè)這一天有x名工人加工甲種零件，則這天加工甲種零件有5x個，乙種零件有4（16—x）個

　　根據(jù)題意，得16×5x+24×4（16—x）=1440

　　解得x=6

　　答：這一天有6名工人加工甲種零件、

　　7、某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費、

　　（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a

　　（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費是多少元？

　　解：（1）由題意，得

　　0.4a+（84—a）×0.40×70%=30.72

　　解得a=60

　　（2）設(shè)九月份共用電x千瓦時，則

　　0.40×60+（x—60）×0.40×70%=0.36x

　　解得x=90

　　所以0.36×90=32.40（元）

　　答：九月份共用電90千瓦時，應(yīng)交電費32.40元

　　8、某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機、已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元

　　（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案

　　（2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？

　　解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，設(shè)購A種電視機x臺，則B種電視機y臺

　　（1）①當(dāng)選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50—x）臺，可得方程

　　1500x+2100（50—x）=90000

　　即5x+7（50—x）=300

　　2x=50

　　x=25

　　50—x=25

　　②當(dāng)選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50—x）臺，可得方程1500x+2500（50—x）=90000

　　3x+5（50—x）=1800

　　x=35

　　50—x=15

　　③當(dāng)購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50—y）臺

　　可得方程2100y+2500（50—y）=90000

　　21y+25（50—y）=900，4y=350，不合題意

　　由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺

　　（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利

　　150×25+250×15=8750（元）

　　若選擇（1）中的方案②，可獲利

　　150×35+250×15=9000（元）

　　9000>8750 故為了獲利最多，選擇第二種方案

　　一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，也是一個難點。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時無從下手。

　　事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。

　　一、 列方程解應(yīng)用題的步驟：

　　⑴審題：理解題意。

　　1、弄清題目中的對象，找出題目中代表著對象之間關(guān)系的句子和詞；

　　2、弄清題目中有什么，要我們干什么，找出有什么（已知）和干什么（未知）之間的關(guān)系；

　　從應(yīng)用題來看一個題一般存在這兩個以上的關(guān)系，這兩關(guān)系一是題目中給出，二是題目中只給出一個，另一個關(guān)系是我們?nèi)粘Ｉ�活中常用到的一些等量關(guān)系（例如：路程=速度×?xí)r間等）所以解應(yīng)用題關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系，先就要長到代表等量關(guān)系的句子和詞語（如：誰比誰多，誰比誰少，誰是誰的幾倍，誰是誰的幾分之幾等）。解題時常用橫線畫出代表等量關(guān)系的句子和詞語。

　　⑵設(shè)元（未知數(shù)）。

　　①直接未知數(shù)：題目中問什么設(shè)什么；

　　②間接未知數(shù)：先通過設(shè)未知數(shù)求出與與問題相關(guān)的量，然后再通過一些關(guān)系求出題目中的問題。（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。但一元一次方程一般都只設(shè)一個未知數(shù)列一個方程。

　　⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

　　⑷列方程：尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。

　　⑸解方程（6）檢驗：一是檢驗是否使方程有意義，例如分母不為0等；二是檢驗是否使實際實際問題有意義（如；2/3個人等）。

　　（7）答題：回答出題目所問。

　　二、常見的常識性等量關(guān)系及關(guān)鍵詞語

　　（1）和、差、倍、分問題。

　　（2）　此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時要抓住關(guān)鍵詞，確定標準量與比校量，并注意每個詞的細微差別。

　　（2）等積變形問題。

　　此類問題的關(guān)鍵在“等積”上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式。“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤帷３Ｓ玫攘筷P(guān)系為：

　　①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積=成品體積。

　　（3）調(diào)配問題。

　　從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見是“和、差、倍、分”關(guān)系，要注意調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量。這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：

　　①既有調(diào)入又有調(diào)出；

　　②只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；

　　③只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。

　　調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。

　　例14、甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？

　　講評：本題難點是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x—100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x—100） ∴x=180 x+200=380

　　例15、教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個？

　　講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13—x）個，燈管拉線為x/3條，吊扇拉線為13—x/2條，依題意“共有5條拉線”，有x/3 + 13—x/2=5 ∴x=9

　　例16、某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？

　　講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個，則有（22—x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120（22—x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有 200x=2×120（22—x）

　　∴x=12 22—x=10

　　例17、 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成。現(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢瑁壳叭�種料各稱了多少千克？

　　講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600

　　∴　x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200

　　例18、 蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？

　　講評：這是一個分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9（x—1）+6。蘋果總數(shù)不變，有

　　mx+14=9（x—1）+6 ∴x=17/9—m∵x、m均為整數(shù) ∴9—m=1

　　x=17

　　例19、 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？

　　講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設(shè)可換回鋼材x噸，則有 x∶288=35∶4 ∴x=2620

　　7、需設(shè)中間（間接）未知數(shù)求解的問題

　　一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。

　　例20、甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。

　　講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為x—8/2，乙數(shù)為x/3，丙數(shù)為x/4，丁數(shù)為x+4/5，由四個數(shù)的和是43，有 x—8/2 + x/3 + x/4+x + 4/5 = 43 ∴x = 36

　　∴ x—8/2=14 x/3=12 x/4=9 x+4/5=8

　　例21、某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊均需比賽10場），其中勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分。向明中學(xué)足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場？

　　講評：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的場數(shù)，但設(shè)平或負的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。故設(shè)平_場，則負x—3場，勝10—（x+x—3）場，依題意有 3[10—（x+x—3）]+x=19 ∴x=4 ∴ 10—（x+x—3）= 5

　　（4）行程問題。

　　要掌握行程中的基本關(guān)系：路程=速度×?xí)r間。

　　相遇問題（相向而行），這類問題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時走時兩人所走的時間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

　　追及問題（同向而行），這類問題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時間為等量關(guān)系。

　　① 同時不同地：甲的時間=乙的時間 甲走的路程—乙走的路程=原來甲、乙相距的路程

　　② 同地不同時；甲的時間=乙的時間—時間差 甲的路程=乙的路程

　　環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

　　船（飛機）航行問題：相對運動的合速度關(guān)系是：

　　順水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）中速度+水（風(fēng)）流速度；逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）中速度—水（風(fēng)）流速度。

　　車上（離）橋問題：

　　①車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程，所走路程為一個車長。

　　②車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程。所走的路程為一個成長

　　③車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程，所走路成為一個車長+橋長

　　④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程，所行路成為橋長—車長

　　行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點。

　　尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系。

　　例1、某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時間？

　　講評：這一問題實際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當(dāng)于最后一個人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。

　　在追及過程中，設(shè)追及的時間為x秒，隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程—被追者的路程=原來相隔的路程”，有：

　　3x—1.5x=450 ∴x=300

　　在相遇過程中，設(shè)相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100

　　故往返共需的時間為 x+y=300+100=400（秒）

　　例2 汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。

　　講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關(guān)系，從相隔的時間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時，則時間為x/40小時；速度為45 km/小時，則時間為x/45小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有

　　x/40—x/45 = 1 ∴　x = 360

　　例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。

　　講評：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為x/6km/小時，逆流速度為x/8km/小時，由航行問題中的重要等量關(guān)系有：

　　x/6—2= x/8 +2 ∴ x = 96

　　（5）工程問題。

　　其基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率×工作時間；合做的效率=各單獨做的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時，常設(shè)總工作量為“1”，分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意。

　　工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時間為t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時間作相等關(guān)系，完成同一工作的時間差=多用的時間。

　　在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。

　　例4、 加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？

　　講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為1/20，乙的工作效率為1/10，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12—x）天，乙完成的工作量為x/10，甲完成的工作量為，依題意有 x/10 + 12—x/20 = 1 ∴x =8

　　例5、 收割一塊麥地，每小時割4畝，預(yù)計若干小時割完。收割了2/3后，改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的1、5倍。因此比預(yù)計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝？

　　講評：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預(yù)計時間為x/4小時，收割2/3x畝工作時間為2/3x/4=小時；改用新式工具后，工作效率為1.5×4=6畝/小時，割完剩下1/3x畝時間為1/3x /6 = x/18 小時，則實際用的時間為（x/6+ x/18）小時，依題意“比預(yù)計時間提前1小時完工”有

　　x/4—（x/6+x/18）=1 ∴ x =36

　　例6、 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水，乙單獨開需6小時注滿一池水，丙單獨開15小時放完一池水。現(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池？

　　講評：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、—1/15（進水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負數(shù)），設(shè)x小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為x/10，x/6、—x/15，由三水管完成整體工作量1，有 x/10 +x/6 — x/15 = 1 ∴　x = 5

　　（6）溶液（混合物）問題

　　溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；②濃度=溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/溶質(zhì)+溶劑×100%【純度（含量）=純凈物/混合物×100%=純凈物/純凈物+雜×100%】；③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。

　　例11、把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過計算說明該同學(xué)加水是否過量？⑵如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20%的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克？

　　講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。

　　本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80%，溶質(zhì)（純酒精）為1000×80%克；設(shè)加x克水后，濃度為60%，此時溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）×60%克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）×60%=1000×80%

　　∴x = 1000/3>300 ∴該同學(xué)加水未過量。

　　⑵設(shè)應(yīng)加入濃度為20%的酒精y克，此時總?cè)芤簽椋?000+300+y）克，濃度為60%，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）×60%；原兩種溶液的濃度分別為1000×80%、20%y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）×60%=1000×80%+20% ∴ y=50

　　（7）經(jīng)濟問題

　　與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的經(jīng)濟類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟類問題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤問題、②優(yōu)惠（促銷）問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。

　　⑴銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率。基本關(guān)系式有：①利潤=銷售價（收入）—成本（進價）【成本（進價）=銷售價（收入）—利潤】；②利潤率=利潤/成本（進價）【利潤=成本（進價）×利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價=標價×折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關(guān)系。

　　⑵優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進行檢驗，預(yù)測其變化趨勢。

　　⑶存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金×利率×期數(shù)；（注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365。）②利息稅=利息×稅率；③本息和（本利）=本金+利息—利息稅。

　　例7、某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件，后來又到深圳以每件12、5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12%，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？

　　講評：設(shè)銷售價每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進價）為（5×10+40×12.5），利潤率為12%，利潤為（5×10+40×12.5）×12%。由關(guān)系式①有

　　（10+40）x—（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12% ∴x=14.56

　　例8、某種商品因換季準備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？

　　講評：設(shè)定價為x元，七五折售價為75%x，利潤為—25元，進價則為75%x—（—25）=75%x+25；九折銷售售價為90%x，利潤為20元，進價為90%x—20。由進價一定，有

　　75%x+25=90%x—20 ∴ x = 300

　　例9、 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16%。取款時扣除20%利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問半年前李勇同學(xué)共存入多少元？

　　講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16%，期數(shù)為0.5年，則利息為0.5×2.16%x，利息稅為20%×0.5×2.16%x，由存貸問題中關(guān)系式③有 x +0.5×2.16%x—20%×0.5×2.16%x=504.32 ∴ x = 500

　　例10、某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算？

　　講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費金額為（200+80%x）元，不買卡花費金額為x元，故有

　　200+80%x = x ∴ x = 1000

　　當(dāng)x >1000時，如x=2000 買卡消費的花費為：200+80%×2000=1800（元）

　　不買卡花費為：2000（元 ） 此時買卡購物合算。

　　當(dāng)x<1000時，如x=800 買卡消費的花費為：200+80%×800=840（元）

　　不買卡花費為：800（元） 此時買卡不合算。

　　（8）數(shù)字問題。

　　要正確區(qū)分“數(shù)”與“數(shù)字”兩個概念，這類問題通常采用間接設(shè)法，常見的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。列方程的前提還必須正確地表示多位數(shù)的代數(shù)式，一個多位數(shù)是各位上數(shù)字與該位計數(shù)單位的積之和。數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)），如兩位數(shù)

　　=10a+b；三位數(shù)

　　=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運用。

　　例12、 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。

　　講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17 ∴x=2

　　∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

　　例13、 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。

　　講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動后的數(shù)為10x+1，依題意有 10x+1=10+x

　　∴x = 42857 則原數(shù)為142857

　　（9）年齡問題其基本數(shù)量關(guān)系：大小兩個年齡差不會變。

　　這類問題主要尋找的等量關(guān)系是：抓住年齡增長，一年一歲，人人平等。

　　（10）比例分配問題：

　　這類問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。常用等量關(guān)系：各部分之和=總量。

　　（11）設(shè)而不求（設(shè)中間參數(shù)）的問題

　　一些應(yīng)用題中，所給出的已知條件不夠滿足基本量關(guān)系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時，我們可以通過設(shè)出這個量，并將其看成已知條件，然后在計算中消去。這將有利于我們對問題本質(zhì)的理解。

　　例22、一艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜？（竹排的速度為水的流速）

　　分析：航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量，一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時間量，所求也是時間量，故需在路程和速度兩個量中設(shè)一個中間參數(shù)才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設(shè)兩地路程為a公里，則順水速度為a/5，逆水速度為a/7，設(shè)水流速度為x，有a/5—x=a/7+x

　　∴x=a/35，又設(shè)竹排從重慶到上海的時間為y晝夜，有 a/35·x=a ∴x=35

　　例23、 某校兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系兩家標價相同的旅行社，經(jīng)洽談后，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費，其余7.5折收費；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠。

　　⑴當(dāng)學(xué)生人數(shù)等于多少人時，甲旅行社與乙旅行社收費價格一樣？

　　⑵若核算結(jié)果，甲旅行社的優(yōu)惠價相對乙旅行社的優(yōu)惠價要便宜，問學(xué)生人數(shù)是多少？

　　講評：在本題中兩家旅行社的標價和學(xué)生人數(shù)都是未知量，又都是列方程時不可少的基本量，但標價不需求解。

　　⑴中設(shè)標價為a元，學(xué)生人數(shù)x人，甲旅行社的收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有 a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2） ∴ x=3

　　⑵設(shè)學(xué)生人數(shù)為y 人，甲旅行社收費為a+0.75a（y+1）元，乙旅行社收費為0.8a（y+2）元，有0.8a（y+2）—[a+0.75a（y+1）]= ×0.8a（y+2）

　　∴y=8。

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