橢圓的標準方程優秀教案6篇

　　在教學工作者開展教學活動前，時常要開展教案準備工作，教案有助于學生理解并掌握系統的知識。優秀的教案都具備一些什么特點呢？下面是小編幫大家整理的橢圓的標準方程優秀教案，歡迎閱讀與收藏。

　　橢圓的標準方程優秀教案 1

　　教學目標：

　　1、通過本節課課前及課堂上的探索研究過程，使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程；

　　2、復習和鞏固求軌跡方程的基本方法.

　　3、能夠理解橢圓軌跡和方程之間的關系，進一步提高學生解析能力；

　　教學重點：

　　1、橢圓的定義和橢圓的標準方程及其求法，

　　2、橢圓曲線和方程之間的相互關系．

　　教學難點：

　　1、建立適當的坐標系，求橢圓標準方程．

　　2、利用橢圓的定義和標準方程研究曲線．

　　教學方式：

　　體驗式

　　教學手段：

　　多媒體演示．

　　學生特點：

　　本節課的教學對象為高中實驗班學生，數學基礎較好．

　　教學過程：

　　1、給出橢圓定義

　　由學生根據課前的預習敘述橢圓的定義：

　　1）橢圓的定義：

　　平面內與兩定點F1，F2的'距離的和等于常數（大于 ）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓．F1， F2叫做橢圓的焦點； 叫做橢圓的焦距．

　　2）展示學生通過預習橢圓知識，結合橢圓的知識所作的“圖形”，并介紹橢圓的做法，幫助同學了解橢圓的定義，同時引出橢圓標準方程

　　2、推導橢圓標準方程

　　推導方程：（以下方程推導過程由學生完成）

　　①建系：以 和 所在直線為 軸，線段 的中點為原點建立直角坐標系；

　　②設點：設 是橢圓上任意一點，設 ，則

　　③列式：由 得

　　④化簡：移項平方后得

　　整理得

　　兩邊平方后整理得，

　　由橢圓的定義知， 即 ，∴ ，令 ，其中 ，代入上式，得 ，兩邊除以 ，得： （ ））

　　3．進一步認識橢圓標準方程

　　（掌握橢圓的標準方程，以及兩種標準方程的區分）

　　（1）方程 （ ）叫做橢圓的標準方程．它表示焦點在 軸上，焦點坐標為 ， ，其中 ．

　　（2）方程方程 （ ）也是橢圓的標準方程．它表示焦點在 軸上，焦點坐標為 ， ，其中 ．

　　4．通過例題鞏固橢圓的標準方程.

　　例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：

　　(1) 兩個焦點的坐標分別是(－3，0)，(3，0)，橢圓上任意一點與兩焦點的距離的和等于8；

　　(2) 兩個焦點的坐標分別是(0，－4)，(0，4)，并且橢圓經過點 .

　　5．再次展示學生所作橢圓，讓學生利用橢圓方程和橢圓定義來判斷所作的“橢圓”，并說明判斷的依據，進一步橢圓定義和橢圓的標準方程.

　　6．小結：

　　這節課我們圍繞橢圓及其標準方程研究了橢圓這幾個方面的問題：

　　（1）橢圓的定義；

　　（2）橢圓的標準方程推導；

　　（3）利用橢圓的定義和標準方程研究曲線；

　　7．作業：

　　（1）P42，練習A第1，2，3，4題；

　　（2）求演示圖形5中橢圓的方程.

　　橢圓的標準方程優秀教案 2

　　教學目標：

　　（一）知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程。

　　（二）能力目標：培養學生的動手能力、合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力；培養學生運用類比、分類討論、數形結合思想解決問題的能力。

　　（三）情感目標：激發學生學習數學的興趣、提高學生的審美情趣、培養學生勇于探索，敢于創新的精神。

　　教學重點：

　　橢圓的定義和橢圓的標準方程。

　　教學難點：

　　橢圓標準方程的推導。

　　教學方法：

　　探究式教學法，即教師通過問題誘導→啟發討論→探索結果，引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結規律，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力。

　　教具準備：

　　多媒體課件和自制教具：繪圖板、圖釘、細繩。

　　教學過程：

　　（一）設置情景，引出課題

　　問題：XX年10月12日上午9時，“神舟六號”載人飛船順利升空，實現多人多天飛行，標志著我國航天事業又上了一個新臺階，請問：“神舟六號”飛船的運行軌道是什么？多媒體展示“神舟六號”運行軌道圖片。

　　（二）啟發誘導，推陳出新

　　復習舊知識：圓的定義是什么？圓的標準方程是什么形式？

　　提出新問題：橢圓是怎么畫出來的？橢圓的`定義是什么？它的標準方程又是什么形式？ 各組分別選定一種方案：（以下過程按照第一種方案）

　　①建系：以所在直線為x軸，以線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。

　　②設點：設是橢圓上任意一點，為了使的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜，設，則設與兩定點的距離的和等于。

　　③列式

　　④化簡：（這里，教師為突破難點，進行設問：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？）

　　橢圓的標準方程優秀教案 3

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　本節是繼直線和圓的方程之后，用坐標法研究曲線和方程的又一次實際演練。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容之一。

　　（二）教學重點、難點

　　1、教學重點：橢圓的定義及其標準方程

　　2、教學難點：橢圓標準方程的推導

　　（三）三維目標

　　1、知識與技能：掌握橢圓的定義和標準方程，明確焦點、焦距的概念，理解橢圓標準方程的推導。

　　2、過程與方法：通過引導學生親自動手嘗試畫圖、發現橢圓的'形成過程進而歸納出橢圓的定義，培養學生觀察、辨析、類比、歸納問題的能力。

　　3、情感、態度、價值觀：通過主動探究、合作學習，相互交流，對知識的歸納總結，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，增強學生學習的信心。

　　二、教學方法和手段

　　采用啟發式教學，在課堂教學中堅持以教師為主導，學生為主體，思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則。

　　“授人以魚，不如授人以漁。”要求學生動手實驗，自主探究，合作交流，抽象出橢圓定義，并用坐標法探究橢圓的標準方程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

　　三、教學程序

　　1、創設情境，認識橢圓：通過實驗探究，認識橢圓，引出本節課的教學內容，激發了學生的求知欲。

　　2、畫橢圓：通過畫圖給學生一個動手操作，合作學習的機會，從而調動學生的學習興趣。

　　3、教師演示：通過多媒體演示，再加上數據的變化，使學生更能理性地理解橢圓的形成過程。

　　4、橢圓定義：注意定義中的三個條件，使學生更好地把握定義。

　　5、推導方程：教師引導學生化簡，突破難點，得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程，利用學生手中的圖形得到焦點在軸上的橢圓的標準方程，并且對橢圓的標準方程進行了再認識。

　　6、例題講解：通過例題規范學生的解題過程。

　　7、鞏固練習：以多種題型鞏固本節課的教學內容。

　　8、歸納小結：通過小結，使學生對所學的知識有一個完整的體系，突出重點，抓住關鍵，培養學生的概括能力。

　　9、課后作業：面對不同層次的學生，設計了必做題與選做題。

　　10、板書設計：目的是為了勾勒出全教材的主線，呈現完整的知識結構體系并突出重點，用彩色增加信息的強度，便于掌握。

　　四、教學評價

　　本節課貫徹了新課程理念，以學生為本，從學生的思維訓練出發，通過學習橢圓的定義及其標準方程，激活了學生原有的認知規律，并為知識結構優化奠定了基礎。

　　橢圓的標準方程優秀教案 4

　　我所要講授的課題是有關全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本必修）《數學》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節《橢圓及其標準方程》的內容。

　　一、概說：

　　1、教材分析：

　　橢圓是一種特殊的圓錐曲線，它與其他圓錐曲線的學習密切相關。學習橢圓的方法可以為我們理解整個這一章節提供指導和引領，并直接影響對其他圓錐曲線的學習。同時，通過深入學習橢圓，我們可以加深和鞏固求解曲線方程的能力。因此，橢圓的研究不僅是后繼學習的基礎，也是一個范例。

　　2、教學分析：

　　橢圓以及其標準方程是非常適合培養學生觀察、分析、發現、概括、推理和探索能力的重要素材。通過本節課中設置的情景、動手操作、總結歸納和應用提升等探究性活動，學生將能夠培養數學創新精神和實踐能力，并且掌握坐標法的規律，同時掌握數學學科研究的基本過程與方法。

　　3、學生分析：

　　高中二年級學生正處于身心發展的黃金時期，他們頭腦敏捷，知識基礎豐富，因此熱衷于探索和勇于探究。不過，高中生的邏輯思維能力還主要依賴經驗，運算能力相對較弱，需要進一步培養。

　　根據以上分析，我所采用的教學方法是一種創新性教學方法，它包括問題引導、啟發式討論和結果探索，并且結合直觀觀察、歸納抽象和規律總結。同時，注重引導學生思考、激發學習興趣、探究學習并進行實踐練習的結合。

　　通過改變學生的學習方式，我們可以營造一個激發興趣、主動參與、積極體驗和自主探究的學習環境，從而實現師生互動的教學氛圍。

　　我設定的教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

　　教學難點是：標準方程的推導。

　　二、目標說明：

　　根據數學教學大綱要求確立“三位一體”的教學目標 。

　　1、知識與技能目標：理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

　　2、過程與方法目標：強調數學概念與幾何形狀的結合，掌握解決幾何問題時的分析方法，注重培養學生的探索能力。

　　3、情感、態度和價值觀目標：

　　(1)探究方法激發學生的求知欲，培養濃厚的學習興趣。

　　(2)進行數學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

　　三、過程說明：

　　依據“一個為本，四個調整”的新的教學理念和上述教學目標設計教學過程 。“以學生發展為本，新型的師生關系、新型的教學目標 、新型的教學方式、新型的呈現方式”體現如下：

　　（一）在進行教材的重組與拓展時，我們需要根據教學目標選擇合適的教學內容，并遵循拓展、開放和綜合的原則。教材中對橢圓的定義雖然十分嚴密，但并不夠直觀易懂，因此我決定增加一段影音文件來輔助學生理解。這段影音文件是關于海爾波譜彗星的運行軌道圖，通過展示彗星的橢圓軌道，能夠更加生動形象地呈現橢圓的特點。最后，在教材的拓展部分，我將提供給學生一個幾何畫板，要求他們用畫板來繪制橢圓，并帶有5個探究性問題。通過這樣的活動，既可以幫助學生鞏固對橢圓的理論知識的掌握，又能夠培養他們的實際操作能力和創造思維。同時，探究性問題的設置也能夠激發學生的.思考和探索欲望，提高他們的學習主動性和自主學習能力。這樣的重組與拓展對于教學的效果將會起到積極的促進作用，使學生在充分理解橢圓的定義的基礎上，能夠更好地應用于實際情境中，并培養他們的創新和解決問題的能力。

　　（二）在教學過程中的體現：

　　1、新課導入：通過播放影音文件“宇宙中神秘的彗星”來激發學生的學習興趣。這個影音文件以獨特的方式展示了海爾波譜彗星的運行軌道示意圖，讓學生們眼前一亮。接著，我會要求學生動手使用畫板繪制彗星的運行軌道，這樣可以增加他們的動手操作意識，并且更直觀地理解彗星的運行軌道形狀。在此基礎上，我們將引入橢圓的定義，并深入探討橢圓的標準方程。這種創新的教學方法能夠使學生對課程內容產生濃厚的興趣和好奇心。

　　2、新課呈現：

　　學生通過親身觀察文件和實踐操作，然后自己總結出橢圓的定義。這種方法符合人們從感性認知逐漸提升到理性認知的認知規律，并且有助于提升學生的抽象概括能力。接下來，學生可以推導出橢圓的標準方程，培養他們的運算能力，并進一步探討標準方程的特點。教師應該扮演引導者的角色，營造熱烈討論的平等氛圍，鼓勵學生勇于探索和創新，積極參與討論和實踐，培養他們嚴謹的邏輯思維和抽象概括能力，同時滲透數學美學教育，使學生能夠掌握數學和形式的結合。最后，教師可以提出一些探究性問題，鼓勵學生積極探索，敢于探究，改變他們的學習方式。

　　3、鞏固應用

　　根據數學定義和標準方程，我們為你設計了三組九道練習題，幫助你鞏固并提升運用能力。通過這些練習題，你可以進行聯系、思考、討論，并得到反饋和糾正。

　　4、繼續探究：

　　（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

　　（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發現關系；

　　（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；

　　（4）如何描述形狀變化？

　　引導學生探究欲望，開展研究性學習。

　　四、評價說明：

　　本節課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

　　（一）通過對學生的操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作和情緒情感方面的評估，可以對其學習效果進行全面的過程評價。當遇到問題的學生時，教師應該指出他們可取之處，并耐心地引導他們，以培養他們勇于面對挫折并持之以恒地進行科學探索的精神。當學生表現出優異的創新成果時，教師應該給予充分的鼓勵，進一步激發他們創造的潛能，提高他們的創新能力。

　　（二）階段性評價是通過單元測試、期中考試等方式對學生在學習階段的成果進行測試。評價結果將基于每次測試的成績以及學生平時綜合表現。此外，還將包括學生自我評價和教師對學生行為的綜合評估。

　　（三）教師自我反思評價：本課充分體現了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

　　五、說課總結：

　　這堂課采用了計算機網絡技術，展示了知識生成的過程，讓學生一直處于問題探索和研究的狀態中，激發了他們的熱情和興趣。同時，注重培養學生掌握數學科學研究方法，這是一次有益的研究型教學嘗試。這種教學方式對改變學生的學習方式、促進學生自主探究以及培養他們實踐能力和創新意識都大有裨益。

　　橢圓的標準方程優秀教案 5

　　一、教學內容解析

　　橢圓的定義是一種發生性定義，教學內容屬概念性知識，是通過描述橢圓形成過程進行定義的。作為橢圓本質屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應作為本堂課的教學重點同時，橢圓的標準方程作為今后研究橢圓性質的根本依據，自然成為本節課的另一教學重點。學生對“曲線與方程”的內在聯系（數形結合思想的具體表現）僅在“圓的方程”一節中有過一次感性認識。但由于學生比較了解圓的性質，從“曲線與方程”的內在聯系角度來看，學生并未真正有所感受。所以，橢圓定義和橢圓標準方程的聯系成為了本堂課的教學難點。

　　圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對象，圓錐曲線的有關知識不僅在生產、日常生活和科學技術中有著廣泛的應用，而且是今后進一步數學的基礎教科書以橢圓為學習圓錐曲線的開始和重點，并以之來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質的一般方法，可見本節內容所處的重要地位。

　　通過本節學習，學生一方面認識到一般橢圓與圓的區別與聯系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質以及為學生類比橢圓的研究過程和方法，學習雙曲線、拋物線奠定了基礎。學習過程啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于思考，學會分析問題和創造地解決問題；培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力。

　　二、教學目標設置：

　　1．知識與技能目標

　　（1）學生能掌握橢圓的定義明確焦點、焦距的概念．

　　（2）學生能推導并掌握橢圓的'標準方程．

　　（3）學生在學習過程中進一步感受曲線方程的概念，體會建立曲線方程的基本方法，運用數形結合的數學思想方法解決問題．

　　2．過程與方法目標：

　　（1）學生通過經歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納．培養學生發現規律、認識規律的能力．

　　（2）學生類比圓的方程的推導過程嘗試推導橢圓標準方程，培養學生利用已知方法解決實際問題的能力．

　　（3）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等價轉化等數學思想方法．

　　3．情感態度與價值觀目標：

　　（1）通過橢圓定義的獲得讓學生感知數學知識與實際生活的密切聯系培養學生探索數學知識的興趣并感受數學美的熏陶．

　　（2）通過標準方程的推導培養學生觀察，運算能力和求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔美”．

　　（3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識．

　　三、學生學情分析

　　1．能力分析

　　①學生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，

　　②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱．

　　2．認知分析

　　①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，

　　②學生已經掌握直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有一定的了解，

　　③學生已經初步掌握研究直線和圓的基本方法．

　　3．情感分析

　　學生具有積極的學習態度，強烈的探究欲望，能主動參與研究．

　　四、教學策略分析

　　教學中通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“創設情境——總結概括——啟發引導——探究完善——實際應用”的過程，發現新的知識，又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質．

　　課堂教學中創設問題的情境，激發學生主動的發現問題解決問題，充分調動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數學思想方法，發展學生思維品質，這是本節課的教學原則．根據這樣的原則及所要完成的教學目標，我采用如下的教學方法和手段：

　　1．引導發現法：用課件演示動點的軌跡，啟發學生歸納、概括橢圓定義．

　　2．探索討論法：由學生通過聯想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點，發揮其創造性．

　　這兩種方法是適應新課程體系的一種全新教學模式，它能更好地體現學生的主體性，實現師生、生生交流，體現課堂的開放性與公平性．

　　在教學中適當利用多媒體課件輔助教學，增強動感及直觀感，增大教學容量，提高教學質量．

　　五、教學過程：

　　（一）復習引入

　　1．說一說你對生活中橢圓的認識．伴隨圖片展示使同學們感到橢圓就在我們身邊．

　　意圖：

　　（1）、從學生所關心的實際問題引入，使學生了解數學來源于實際．

　　（2）、使學生更直觀、形象地了解后面要學的內容；

　　2．手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上同一定點，套上筆拉緊繩子，移動筆尖畫出的軌跡是圓．再將這一條定長的細繩的兩端固定在畫圖板上的兩定點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓隨后動畫呈現．

　　意圖：

　　（1）通過畫圖給學生提供一個動手操作、合作學習的機會；調動學生學習的積極性

　　（2）多媒體演示向學生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象．

　　（二）講解新課由學生畫圖及教師演示橢圓的形成過程，引導學生歸納定義．

　　1.橢圓定義：

　　平面內與兩個定點的距離之和等于常數2a的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。

　　練習1：已知兩個定點坐標分別是（—4，0）、（4，0），動點P到兩定點的距離之和等于8，則P點的軌跡是？

　　練習2：已知兩個定點坐標分別是（—4，0）、（4，0），動點P到兩定點的距離之和等于6，則P點的軌跡是？

　　通過兩個練習思考：橢圓定義需要注意什么（于意圖：讓學生通過練習反思畫圖，歸納定義，理解定義，突破了重點．

　　（1）、當2a>|F1F2|時，是橢圓；（2）、當2a=|F1F2|時，是線段；

　　2.根據定義推導橢圓標準方程：

　　要求

　　（1）學生在畫板上建立適當的坐標系，

　　（2）根據定義推導橢圓的標準方程．

　　同時引導學生類比圓回顧解析幾何研究問題的特點及求軌跡方程步驟

　　意圖：讓學生自己去建系推導橢圓的標準方程，給學生較多的思考問題的時間和空間，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美”為“發現簡潔美”．教師結合猜想加以引導．化簡無理方程為難點通過發現問題解決問題突破難點．

　　橢圓的標準方程優秀教案 6

　　一、教學內容解析

　　1．地位與作用：

　　本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數學中一個重要的分支，它聯系了數學中的數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數與幾何的關系。本章教材內容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。

　　本節是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節的內容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節課起到了承上啟下的作用。

　　2．教材處理順序

　　教材在橢圓的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節內容中只研究了中心在原點，焦點在 軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在 軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養。

　　3．數學思想方法

　　本節內容蘊含了：數形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。

　　二、教學目標和重難點

　　1．教學目標

　　（1） 知識與技能目標：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標準方程。

　　（2） 過程與方法目標：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數形結合的數學思想方法；②通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。

　　（3） 情感、態度和價值觀：①通過橢圓定義的歸納，培養學生發現規律，認識規律并利用規律解決實際問題的能力；②通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。

　　2．教學重點

　　（1） 掌握橢圓的定義與相關概念；

　　（2） 掌握橢圓的標準方程。

　　3．教學難點

　　橢圓標準方程的推導。

　　三、學情分析

　　1．學生已有的認知基礎

　　授課班級學生為高二年級學生。

　　橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。

　　2．學生存在的難點

　　學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。

　　3．突破策略

　　由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標系。

　　四、教學策略分析

　　1．內容突破策略

　　本節課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發現一些固定不變的量和量與量之間存在的關系，從而總結出橢圓的定義，并且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規律。

　　2．啟迪學生思維策略：

　　在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。

　　五、教學過程

　　教學過程

　　設計意圖

　　一、創設情景，導入新課

　　1．讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數學圖形“橢圓”。

　　2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？

　　3．用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。

　　1．使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數學問題，數學來源于實踐，同時培養學生學會用數學的眼光去觀察周圍事物的能力。

　　2．通過提問激發學生課堂上的學習興趣。

　　二、橢圓的定義（分四個環節）

　　1．畫一畫（畫橢圓）

　　①將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉，筆尖形成的軌跡是什么？

　　（由學生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節課的興趣）

　　②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的.是軌跡是什么？

　　（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）

　　動畫演示作圖過程

　　2．認一認（實驗總結）

　　提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？

　　提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？

　　提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什么長度之間的關系？

　　總結：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。

　　3．說一說（總結定義）

　　提出問題：根據剛才動手實踐的過程，能否總結橢圓的定義？（同學自由發言，再由學生進一步補充完善）

　　我們把平面內到兩個定點 ， 的距離之和等于常數（大于 ）的點的集合叫作橢圓。

　　問題1：定義中的常數等于 ，則動點的軌跡是什么？

　　問題2：定義中的常數小于 ，則動點的軌跡是什么？

　　4．橢圓相關概念：兩個定點 ， 叫作橢圓的焦點，兩個焦點 ， 間的距離叫作橢圓的焦距。

　　1．給學生提供一個動手、動腦的學習機會；

　　2．學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。

　　3．通過三個問題的設置，為學生從畫法中發現拋物線的幾何特征奠定基礎。

　　4．通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義

　　5．使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風。

　　三、橢圓的標準方程

　　1．求一求（推導橢圓的標準方程）

　　問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？

　　①建系： ②設點：

　　③列式： 得： ④化簡：

　　問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？

　　（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）

　　動手演算：讓學生動手，求推導焦點在 軸上的橢圓的標準方程

　　①建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）

　　以直線 為 軸，以線段 的垂直平分線為 軸，建

　　立平面直角坐標系．

　　②設點：設焦距為 ，則 ．設 為橢圓上任意一點，點 與點 的距離之和為 ．

　　③列式：動點 滿足的幾何約束條件:

　　坐標化為：

　　④化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號

　　預案一：移項后兩次平方法

　　兩邊同時平方、整理得：

　　將上式兩邊平方、整理得：

　　分析 的幾何含義，令

　　得到焦點在 軸上的橢圓的標準方程為

　　預案二：

　　用等差數列法：

　　設

　　得4cx=4at，即t=

　　將t= 代入 式得

　　③

　　將③式兩邊平方得出結論。以下同預案一

　　預案三：三角換元法：

　　設

　　得

　　即 即

　　代入 式得

　　以下同預案一

　　2．問一問

　　問題5 ：焦點在 軸上的橢圓的標準方程是什么？

　　（由學生動手列式， ，引導學生觀察焦點在 軸上與焦點在 軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在 軸上橢圓的標準方程）

　　如果橢圓的焦點在 軸上，其焦點坐標為 ， ，用同樣的方法可以推出它的標準方程

　　問題6：如何用幾何圖形解釋 ？ ， ， 在橢圓中分別表示哪些線段的長？

　　1．讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。

　　2．橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標軸上的橢圓的標準方程。

　　3．進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學的簡潔美、對稱美

　　4．數形結合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數學思想方法

　　做好準備，以備個別學生想到此種方法

　　四、課堂探究

　　探究一：判斷分別滿足下列條件的動點 的軌跡是否為橢圓

　　（1）到點 和點 的距離之和為6的點的軌跡；（是）

　　（2）到點 和點 的距離之和為4的點的軌跡； （不是）

　　（3）到點 和點 的距離之和為3的點的軌跡； （不是）

　　(4).已知橢圓的標準方程為 ，請填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦點坐標為_________________,焦距等于_________.

　　探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標

　　（1） ；（在 軸上，焦點為 ， ）

　　（2） ；（在 軸上，焦點為 ， ）

　　（3） 。（在 軸上，焦點為 ， ）

　　1．鞏固橢圓的定義

　　2．通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關系的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。

　　五、課堂小結

　　問題：這節課你學到了什么？請談談你的收獲.

　　1．知識內容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中 之間的關系。

　　2．學習過程收獲：①鞏固了動點的軌跡方程的求法；②通過推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。

　　3．數學思想和方法：數形結合思想；轉化化歸思想；分類討論思想。

　　目的：培養學生的概括總結能力

　　六、課后鞏固練習

　　1．課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結出什么樣的規律？

　　2．書面作業：

　　課本 練習2: 1, 2, 3

　　是對本節課新知內容及學習方法的鞏固，同時啟發學生思考，讓學生更有興趣繼續研究橢圓

　　七、板書設計

　　橢圓及其標準方程

　　一、畫橢圓

　　二、定義：

　　注明：①若 ，則點的軌跡不存在；

　　②若 ，則軌跡為線段

　　三、橢圓的標準方程

　　焦點在 軸上時，

　　焦點在 軸上時，

　　八、設計感想

　　上本節課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現實生活中橢圓的應用引入，充分展現了知識的形成過程，有利于學生自主探究與創新意識的培養。但在設計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在后續教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業發展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉換；認識到新課改的成功要從我做起，從現在做起！

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